Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia
Sejam funções diferenciáveis. Mostre que , em que , satisfaz a equação de onda .
Passo 1
Que questão confusa... Bom, se ele deu , que é uma função de e , e chega numa parada que tem a segunda derivada de em relação a e em relação a , então parece uma boa ideia começar calculando essas derivadas, seja lá o que formos fazer com elas...
Então vamos lá, derivada de em relação a :
E isso foi nada mais do que aplicar a regra da cadeia :D coloquei o só pra não parecer muito passo voodoo, mas na real sabemos que a derivada de em relação a é 1!
Agora fazemos a mesma coisa, derivando em relação a de novo:
Passo 2
Beleza, agora vamos encontrar as outras derivadas parciais, em relação a :
E como a derivada de em relação a é ,
E derivando novamente,
Passo 3
Bom, se tivermos derivado certo, o que ele disse no enunciado tem que valer! Então vamos ver, se pegamos as derivadas parciais em relação a e em relação a , devemos verificar que:
Bom, temos que
e temo que
Então a relação é realmente válida! Já que: