Considere a função:

Em que é um número real.

1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem de em .
2. É possível escolher de modo que seja contínua em ? No caso afirmativo, qual deve ser o valor de ?
3. Mostre que , com , não possui derivada direcional em na direção de um vetor , com e .
4. é diferenciável em quando ? Justifique!

b)

Lembra como fazemos pra definir se uma função é contínua em um ponto? Precisamos saber o valor dela nesse ponto, e então fazer o limite dela quando e tendem ao ponto em questão. Se ela for contínua, esses valores devem ser iguais! Tá, então vamos ter o seguinte:

Caso o produto seja , sabemos que o valor da função é . Então temos, se ou ,

Agora sabemos que a função nesse ponto vale , pois na origem e valem , logo, . Então só falta ver o limite quando a função tende à origem por valores de e diferentes de .

Caso o produto seja diferente de , nossa função “pula” pra um valor . Como queremos tal que ela seja contínua na origem, o valor de deve ser o mesmo do limite quando , ou seja,

Como a função em assume valor , deve ser igual a . Ou seja, na real, para ela ser contínua, ela não pode pular simplesmente para um valor !

Letra fechada!

c)

Aqui entra um detalhe importante, essa função não é contínua fora do , então com vamos ter uma função que não é contínua, o que faz ela não ser diferenciável.

Assim temos que fazer a derivada direcional pela definição.

Esse limite vai ficar

Lembra que ele disse que

Então

Voltando ao limite

Repara que ele disse que o produto de e é diferente de então o produto com indo para também não é zero, então

Isso nos diz que a derivada direcional nesse ponto não existe.

d)

A função não é diferenciável, porque ela não é contínua se .