P3 de Cálculo 2 da UNICAMP - 2020.1

Seja a superfície e a interseção desta superfície com o cilindro (com orientação no sentido anti-horário – quando vista de cima). Calcule (através do Teorema de Stokes) a integral

onde

Calcule a integral de linha de

ao longo do caminho fechado que é fronteira da região entre os gráficos de e (orientado no sentido anti-horário). Baseado em sua resposta, diga se o campo é conservativo ou não.

Seja e seja uma região para qual o Teorema da Divergência se aplica. Prove que

Onde é a fronteira de com normal exterior . Use este resultado para calcular o volume de uma esfera de raio .

Sejam com e .

a) Mostre que

b) Seja a superfície união de , e .

Se quando aponta “para fora” de , calcule o valor de .

(Dica: A superfície não é fechada. Feche-a e utilize o Teorema do Divergente.)