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P2 de Cálculo 3 da UFRJ - 2014.1

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Cálculo 3 - UFRJ

Calcule a área da superfície S obtida pela revolução em torno do eixo- x da curva parametrizada por

σ θ = 1 + cos ⁡ θ ,   1 + sen ⁡ θ ,   0 ,     π ≤ θ ≤ 3 π 2

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Opção 1: Calcule a integral de linha

∫ C F   → . d r → ,

onde C é a curva parametrizada por σ t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   e sen 2 ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 2 π e F   → x , y , z = y , x , ln ⁡ z 2 + 1 .

Opção 2: Calcule a integral de linha

∫ C F   → . d r → ,

onde C é a curva parametrizada por σ t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   e sen 2 ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 2 π e F   → x , y , z = - y + x 5 , x , ln ⁡ z 2 + 1 .

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Considere o campo

F   → x , y , z = ( y e z + z ,   x e z ,   x y e z )

Calcule a integral de linha ∫ C F   → ∙ d r → , onde C é a interseção da superfície z = 1 - x 2 , z ≥ 0 , com o plano x + y = 1 orientada com x crescente.

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Seja S a união das superfícies S 1 S 2 e S 3 dadas pelas equações abaixo:

S 1 : y = x 2 + z 2 ,     0 ≤ y ≤ 1 ;

S 2 : 1 = x 2 + z 2 ,     1 ≤ y ≤ 2 ;

S 3 : y = 3 - x 2 + z 2 ,     2 ≤ y ≤ 3 ;

Calcule ∬ S F → . n →   d S , onde F → é o campo de vetores definido por F → x , y , z = ( e cos ⁡ z ,   z 2 y + ln ⁡ x 2 + 1 ,   y 2 + x 2 z ) e n → é o campo de vetores normais unitários exterior à região limitada por S .

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Listas de Exercícios Resolvidos

P1 - 2010.2P1 - 2011.1P2 - 2011.2P1 - 2013.1P2 - 2013.2P1 - 2015.1P1 - 2015.2P1 - 2017.1PF - 2017.1P2 - 2022.2