Calcule a área da superfície obtida pela revolução em torno do eixo- da curva parametrizada por
Passo 1
Então, galera! Essa questão trata de um tema que geralmente não ganha muita importância, que é o Teorema de Pappus.
Ele é aplicado justamente para o cálculo de área de superfícies de revolução.
Quando a rotação ocorre em torno do eixo , a área é dada por:
Quando a rotação ocorre em torno do eixo , a área é dada por:
Onde:
Passo 2
Como a rotação ocorre em torno do eixo , a fórmula que vamos usar é essa aqui:
Onde:
Passo 3
O nosso é dado por:
Como a função varia entre e , o valor de vai ser sempre positivo, independente de , concorda?
Então:
Passo 4
Vamos notar o seguinte:
Passo 5
Agora é só jogar tudo na integral!
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Como se integra uma função sobre uma superfície parametrizada no espaço? E de superfícies que são definidas implicitamente ou na forma explícita? O que se pode calcular com asintegrais de superfície?
Área de uma região elíptica - Encontre a área da região elíptica cortada do plano x + y + z = 1 pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Área de uma calota parabólica - Encontre a área da calota cortada do paraboloide y 2 + z 2 = 3 z pelo plano x = 1 .
Cilindro circular cortado por planos - Integre g x , y , z = x 4 y y 2 + z 2 sobre a porção do cilindro y 2 + z 2 = 25 que está no primeiro octante entre os planos x = 0 e x = 1 e acima do plano z = 3