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P3 de Cálculo 3 da USP - 2014

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Cálculo 3 - USP

Seja S a parte do hiperboloide x 2 + z 2 - y 2 = 9 com z ≥ 0 , limitada por x 2 + y 2 = 4 , orientada com N → tal que N → . k → > 0 .

  1. Dê uma parametrização de S e uma expressão para o campo de vetores normais N → .
  2. Calcule ∬ S   F → . N →   d S , onde F → x , y , z = ( z , 2 z , x 2 ) .

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Calcule

∬ S     y 3 d y ∧ d z + 3 y x + ln ⁡ z 2 + 1 d z ∧ d x + z 2 - 3 x z - x 2 d x ∧ d y

Onde S é a superfície dada por x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 , z ≥ 2 , orientada pela normal unitária n → que satisfaz n → . k → > 0 .

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Calcule ∫ γ   F → . d r → , onde:

F → x , y , z = - y 2 x 2 + y 2 + y z , x 2 x 2 + y 2 - x z ,   e z 2 + z 2

E γ é a intersecção de z = 5 - x 2 - 2 y 2 e z = 3 x 2 + 1 , orientada de modo que a sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido anti-horário.

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