Teorema de Gauss, Integrais de superfície – caso vetorial
Calcule
Onde é a superfície dada por , , orientada pela normal unitária que satisfaz .
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um gráfico dessa região. Temos um elipsoide e o plano :
A superfície de que o problema fala é a parte do elipsoide que está acima do plano azul, como vemos na figura.
A questão nos pede para calcular, o que parece ser difícil de se fazer pela definição, então, vamos tentar aplicar o Teorema de Gauss. Para isso, precisamos de uma região fechada e, até agora, só temos essa casca do elipsoide.
Beleza, já que tem um plano ali, vamos usar o plano para fechar a região, né? Certo, fechamos a região com uma elipse que pertence ao plano . Como a questão diz que a normal aponta para cima em , para termos a superfície orientada positivamente, a normal no plano aponta para baixo.
Podemos então, aplicar o Teorema de Gauss:
Onde é a parte do plano que fecha a região e é a região limitada pela casca e o plano. Logo:
Passo 2
Calcular
Podemos escrever o campo como
Temos
Passo 3
Agora vamos montar a integral
Onde .
Passo 4
Agora precisamos resolver essa integral tripla. Bem, como a região tem simetria no eixo e é limitada no plano por uma elipse, vamos usar coordenadas cilíndricas elípticas:
Sabemos que pelo próprio gráfico. Temos variando desde o plano até a superfície do elipsoide , que, em coordenadas cilíndricas fica:
A variável , por sua vez, pode ser avaliada se olharmos a região de cima. A projeção da região no plano é uma elipse formada pela interseção entre o plano e o elipsoide, fazendo essa igualdade, temos:
Portanto, varia desde a origem até esse valor, que ocorre no plano . Aplicando os intervalos à integral, temos:
Passo 5
Beleza, agora só falta calcular a integral na superfície da elipse contida no plano :
Como nós já vimos, essa elipse é dada pela interseção entre o elipsoide e o plano:
com
Parametrizando essa elipse em coordenadas elípticas, temos:
Temos então a parametrização:
Esse está aí porque a elipse está no plano ! Beleza, como é uma volta completa, temos . Aplicando essas definições de e na equação de elipse, temos (como é o objetivo das coordenadas elípticas), logo, temos .
Passo 6
Agora temos que calcular a normal
Temos:
Bom, como já vimos, para a região estar orientada positivamente, a normal deve apontar para baixo no plano, logo, o vetor que queremos é o oposto a esse:
Passo 7
Agora, para calcular essa integral, vamos usar a seguinte fórmula:
Aplicando os valores que nós temos:
Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos:
Não escrevermos as componentes e porque elas não serão necessárias, já que o vetor normal tem essas componentes nulas.
Substituindo na integral:
Agora vamos integrar isso aí
Aqui nós usamos a identidade
Passo 8
A integral que queremos é dada por:
Substituindo os valores encontrados