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P3 de Cálculo 3 da USP - 2011

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Cálculo 3 - USP

Calcule a massa da superfície S definida como sendo a parte da superfície x 2 + y 2 + z 2 = 2 z satisfazendo z ≥ 3 2 e densidade de massa é δ x , y , z = z 2 .

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Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = x y , x 2 , ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) e S é a parte da superfície z + 1 2 = x 2 + y 2 para 0 ≤ z ≤ 3 orientada de modo que N → é tal que N → . k → < 0 .

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Calcule ∫ γ   F → . d r → sendo

F → x , y , z = y - 2 x 2 + ( y - 2 ) 2 + x z - 2 y , - x x 2 + y - 2 2 + y z + 2 x , cos ⁡ ( z 2 ) ln ⁡ ( 2 + z 6 )

E γ é curva dade pela intersecção de x 2 + y - 2 2 = 4 e z = 2 y + 1 orientada de modo que sua projeção em O x y é percorrida no sentido anti-horário.

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Calcule

∬ S   F → ∙ n → d S

onde

F → x , y , z = ( x , y , z ) x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 + x , 0,0

e S é parte da superfície z = 4 - 2 x 2 - y 2 com z ≥ 0 , orientada de modo que n → é tal que n → . k → > 0 .

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