Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais nulas

Onde é a função delta de Dirac. Obtenha soluções usando transformadas de Laplace.

Considere o seguinte PVI com condições nulas

Obtenha a solução usando transformadas de Laplace e de Convolução.

Seja o problemas de valor inicial e de fronteira (PVIF) relativo à equação do calor:

1. Com extremos mantidos a temperaturas diferentes e condição inicial dada por

Passo 1

Como as condições do problema não são homogêneas, buscamos uma solução estacionária . Como ela deve satisfazer a equação do calor:

Lembra que não depende de ; logo, suas derivadas em relação a são todas nulas!

Integrando duas vezes:

Aplicando as condições de contorno:

Pronto! Já temos a solução de .

Passo 2

Queremos uma solução do tipo

em que é o problema de condução do calor homogêneo.

Agora, vamos resolver com o passo-a-passo maroto que você já conhece !

Passo 3

Buscamos soluções por separação de variáveis :

Substituindo na equação

Passando tudo que tem para um lado e tudo que tem para o outro lado

Como essa igualdade vale para todo e todo , vamos igualá-la a uma constante

Separando a igualdade em duas equações, você vai encontrar isso aqui...

Substituindo as condições de contorno...

Passo 4

Isso nos dá um PVC em.

Esqueça, por enquanto, a condição que tem uma função: .

Precisamos agora achar

Passo 3

Como temos um problema de autovalor, vamos montar e resolver a equação característica da equação de

Agora vamos analisar cada caso.

Se teremos duas raízes

Nas condições de contorno...

Neste caso, só teremos soluções triviais.

Se teremos duas raízes iguais a a solução da seguinte forma:

Que no nosso caso vai ficar...

Aplicando as condições iniciais

Também só há soluções triviais aqui!

Se , e a solução tem essa cara aqui

Como queremos soluções não triviais

Passo 4

Agora vamos trabalhar nossa função usando a condição inicial

Resolvendo a EDO de primeira ordem vamos ter

Agora sim,

Passo 5

Pelo princípio da superposição, podemos escrever a série

Vamos aplicar a condição:

De cara, percebemos que para , Para !

Assim, a série vai ser finita e sua soma:

2. Com extremidades isoladas e condição inicial dada por