Considere o seguinte PVI com condições nulas

y "   +   y     =   c o s t

Obtenha a solução usando transformadas de Laplace e de Convolução.

Passo 1

Vamos aplicar a transformada de Laplace nos dois lados da EDO.

Lembrando que:

L   ( y " )   =   s 2 F ( s ) - s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

L y ' = s F s - y ( 0 )

L cos ⁡ a t =   s s 2 + a 2  

L s e n   a t     =   a s 2 +   a 2

Nossa EDO vai ficar então com essa cara:

- y ' 0 - s y 0 + s 2   F s + F s = s 2   F s + F s =   s s 2 + 1

Arrumando melhor   ...

F s =   1 s 2   + 1   s s 2 + 1

Passo 2

Agora, observamos que podemos escrever F ( s ) como um produto de convolução

F s =   1 s 2   + 1   s s 2 + 1   ∴   F s =   s e n t * c o s t  

Passo 3

Para calcular esse produto usamos a definição

f t = g t * h t = ∫ 0 t g t - τ h τ d τ

Estamos prontos para calcular esta integral!

s e n t * c o s t   = ∫ 0 t s e n t - τ c o s τ d τ = - s e n t - τ s e n τ 0 t + ∫ 0 t c o s t - τ c o s τ d τ = 1 2 ∫ 0 t c o s t - 2 τ + c o s t d τ = 1 2 - 1 2 s e n t - 2 τ 0 t + t s e n t 0 t =   1 2 t s e n t

Resposta

y t =   1 2 t s e n t

Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

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