3º EE de Cálculo 4 da UFPE - 2019.2Ver tudo sobre Cálculo 4 - UFPEA equação seguinte modela um problema do fluxo do calor ∂ u ∂ t x , t = β ∂ 2 u ∂ x 2 x , t , 0 < x < L , t > 0 u 0 , t = u L , t = 0 , t > 0 u x , 0 = f x , 0 < x < L Use a separação de variáveis u x , t = X t T t para mostrar que a solução desse problema é u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - β π x L 2 t s e n n x π L Dica: T ' t β T t = X ' ' x X x = - λ . Estude apenas o caso λ > 0 . Ver solução completaResolva o problema do fluxo do calor com fonte de calor externo dado por ∂ u ∂ t x , t = ∂ 2 u ∂ x 2 x , t + x , 0 < x < π , t > 0 u 0 , t = u π , t = 0 , t > 0 u x , 0 = s e n x , 0 < x < π Dicas: A solução é dada por u x , t = v x + W x , t . Para achar v , resolva o PVI v ' ' x = - x , 0 ≤ x ≤ π v 0 = 0 , v π = 0 Já W x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - β n π L 2 t s e n n π x L , onde os c n são determinados pela expansão em série de Fourier dos senos de f x - v x . Use que 2 π ∫ 0 π s e n m x s e n ( n x ) d x é 1 se m = n e é 0 se m ≠ n . Use direto que ∫ 0 π x 3 s e n ( n x ) d x = 1 n 6 π - 1 n n 2 - π 3 - 1 n . Ver solução completaResolva a equação da onda ∂ 2 u ∂ t 2 x , t = ∂ 2 u ∂ x 2 x , t + t x , 0 < x < π , t > 0 u 0 , t = u π , t = 0 , t > 0 u x , 0 = s e n x , 0 < x < π ∂ u ∂ t x , 0 = 5 s e n x + 2 s e n 2 x , 0 < x < π Dicas: A solução geral do problema é u x , t = ∑ n = 1 ∞ a n cos n π a t L + b n s e n n π a t L + L n π a ∫ 0 t h n s s e n n π a L t - s d s s e n n π x L Os h n t são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para t x . Os a n são os coeficientes da expansão da série de Fourier dos senos para s e n x , e os b n satisfazem ∂ u ∂ t x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n n π a L s e n n π x L . Também ∫ a b u s e n u d u = s e n u - u cos u a b . Ver solução completa
