P2 de Probest da UFRJ - 2014.2

Um grupo de engenheiros deseja estudar a relação entre o número médio de itens defeituosos produzidos pelas máquinas a cada lote de peças e o tempo de funcionamento dessas máquinas, em anos. Para isso, coletaram esses dados para máquinas:

Sabe-se que:

1. Quais os valores da observação faltante ? Construa o gráfico de dispersão das variáveis e .
2. Calcule o coeficiente de correlação amostral entre e , interpretando o valor obtido.
3. Calcule os coeficientes da reta de regressão e utilize a equação desta reta para estimar a proporção esperada de itens defeituosos entre os que forem produzidos por uma máquina já em funcionamento por anos.

Um procedimento químico utilizado por uma indústria gera em média de cloreto de sódio como produto final de uma reação. A quantidade de cloreto obtida a cada vez apresenta um comportamento aleatório , onde A partir de repetições do mesmo procedimento, obteve-se em média de cloreto.

1. Calcule o intervalo de confiança de para . Interprete o resultado.
2. Considere que a indústria modificou o procedimento anterior e agora a variância da quantidade de cloreto produzida não é mais conhecida. Com uma amostra de repetições desse novo procedimento, obteve-se média e desvio padrão amostrais respectivamente iguais a e . Obtenha o intervalo de confiança de para o que o novo procedimento é capaz de produzir.
3. Com base nos itens anteriores, você acredita que o novo procedimento seja capaz de produzir, em média, uma quantidade de cloreto de sódio diferente da que era obtida anteriormente? Qual é o nível de confiança associado à sua conclusão? (Suponha que as seleções de amostra relativas aos dois procedimentos químicos tenham sido realizadas independentemente uma da outra).

O teor da substância no minério se comporta como uma Normal de média e desvio padrão . Já o teor da substância no minério também se comporta como uma Normal, porém esta com média e desvio padrão . A Companhia dispõe de um volume apreciável de um minério cuja natureza ou é desconhecida. Como é uma impureza indesejável, só interessa a Cia. utilizar esse material no caso de ele ser . Serão coletadas unidades amostrais desse material a serem analisadas quimicamente e, com base nos resultados, se pretende testar : o minério é contra : o minério é .

1. Qual deve ser o tamanho da amostra para que as probabilidades do Erro I e do Erro II sejam respectivamente de e ?
2. Usando o obtido em qual a decisão a ser tomada se ? Justifique a sua resposta.

Sugestão: Note que quanto maior for a média amostral, maiores serão os motivos para se rejeitar .

Sejam uma amostra aleatória da variável aleatória com distribuição Bernoulli .

1. Qual a distribuição de ?
2. Considere os dois seguintes estimadores para : e . Esses estimadores são não tendenciosos (não viciados) para ?
3. Expresse o erro quadrático médio desses dois estimadores em função de e .
4. Suponha e faça um único gráfico mostrando o comportamento do em função de para os dois estimadores.