P1 de Probest da UFRJ - 2016.1

O prazo adequado para a troca de um amortecedor novo de certa marca em automóveis sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável aleatória contínua, medida em anos. Suponha que a função de densidade dessa variável é dada pela seguinte expressão:

a) Qual a probabilidade de que, para um automóvel, sujeito as condições descritas acima, a vida útil do amortecedor esteja entre 1 e 3 anos de uso?

b) Qual é, em média, a vida útil dos amortecedores dessa marca?

Uma loja vende em média 3 microcomputadores por dia. Admita que a demanda por este produto segue uma distribuição de Poisson. Ao verificar o estoque, observa-se existirem 2 microcomputadores. Sabe-se que a nova remessa só chegará depois de alguns dias. Qual a probabilidade de que, no fim desse período, a loja não tenha deixado de atender, por falta de estoque, as pessoas que vierem comprar quando:

a) A nova remessa chega em 1 dia?

b) A nova remessa chega em 2 dias?

Suponha que agora esta loja faz parte de uma rede composta por 4 lojas, e que há independência entre as demandas por computadores nas 4 lojas. Em cada uma das lojas há 2 computadores em estoque e a nova remessa chegará em 1 dia. O controlador geral do estoque receberá uma advertência se em pelo menos 2 dessas 4 lojas o estoque não for suficiente para atender a demanada.

c) Qual a probabilidade do controlador receber essa advertência?

O funcionamento do sistema ilustrado abaixo depende de 5 componentes: . Cada um desses componentes tem probabilidade 0,1 de estar defeituoso, independente dos demais; e o sistema irá funcionar apenas se houver pelo menos um caminho conectando os pontos A e B ao longo do qual nenhum componente esteja defeituoso.

a) Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos 5 componentes esteja defeituoso.

b) Calcule a probabilidade desse sistema funcionar.

c) Calcule a probabilida de que o componente esteja defeituoso, dado que o sistema está funcionando.

Quando os consumidores abastecem seus carros em determinado posto de gasolina situado beira de uma estrada, eles sempre aproveitam para fazer também uma refeição no restaurante self-service desse posto. Cada vez que isso acontece:

(1) O carro só é abastecido com um tipo de combustível, a saber, só com gasolina ou só com álcool.

(2) 70% dos carros usam gasolina e 30% usam álcool. Seja W ∼ Bernoulli(p), com p = 0,7, onde W = 1 corresponde a gasolina e W = 0 corresponde a álcool.

(3) A quantidade X de combustível em litros (de gasolina ou de álcool) colocada no tanque do veículo é Normal com média e desvio padrão

(4) O preço da gasolina é e o preço do álcool é .

(5) A quantidade Y de comida, em quilos, consumida em uma refeição no restaurante é Normal com média µY = 0,5 e desvio padrão σY = 0,2.

(6) O preço da comida no restaurante é γ = 30 reais/quilo.

(7) Há independência entre as variáveis aleatórias W, X e Y .

Então, T = [αW + β(1 − W)]X + γY é o montante dos gastos em reais, com combustível e com alimentação, durante uma parada nesse posto de um consumidor selecionado aleatoriamente. Calcule:

a)A distribuição da despesa total T, dado que o carro é abastecido com gasolina

(b) A distribuição da despesa total T, dado que o carro é abastecido com álcool.

(c) A média e o desvio padrão dessa despesa total T (sem separar pelo tipo de combustível).

(d) A probabilidade de que ele gaste ao todo no máximo 150 reais, ou seja, .

Sugestão: Use o Teorema da Probabilidade Total, condicionando em W.