P1 de Probest da UFRJ - 2022.2

Dois dados estão dentro de uma urna. Ambos os dados são honestos (a probabilidade de sair cada uma das faces é a mesma), porém, enquanto o primeiro dado (dado 1) tem as faces numeradas de 1 a 6, o segundo dado (dado 2) tem duas faces de número 1, duas faces de número 2 e duas faces de número 3. Um dos dados é selecionado ao acaso e retirado da urna. Responda às seguintes questões:

(a) Se o dado selecionado é lançado uma vez, qual é a probabilidade de sair face de número 2?

(b) Se o dado selecionado é lançado duas vezes, qual a probabilidade da soma das faces (dos dois lançamentos) ser menor ou igual a 3?

(c) Se o dado é lançado três vezes, obtendo três vezes a face de número 1, qual é a probabilidade do dado selecionado ter sido o dado 1?

O escore final num exame de proficiência na língua inglesa varia de pontos, pulando de dez em , com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações coletadas durante várias aplicações deste exame ao longo de anos permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho no teste:

(a) Qual o valor de para que seja de fato uma função de probabilidade?

(b) Algumas universidades americanas exigem um escore mínimo de pontos para aceitar candidatos de países de língua não inglesa. Numa amostra aleatória de estudantes dentro de um grupo grande de alunos, calcule a probabilidade de pelo menos consigam satisfazer o requisito.

(c) Dentre os candidatos que realizam o teste, em geral pretendem usar o resultado em apenas uma universidade. Usando o modelo Poisson de forma aproximada, calcule a probabilidade de que numa amostra de candidatos, sorteado de forma aleat ́oria, no mínimo usarão o resultado do teste em apenas uma universidade.

Parzival é um famoso jogador de um popular jogo online. É sabido que sua pontuação por partida desse jogo segue uma distribuição Normal com média de pontos e desvio padrão de pontos. Se, em uma partida, ele consegue pontuação superior a , ele ganha um item (prêmio) raro no jogo; e se consegue pontuação entre , ele ganha um item comum.

(a) Qual é a probabilidade de Parzival ganhar um item raro em uma partida? E qual é a probabilidade de ele ganhar um item comum?

(b) Sabendo que em uma partida Parzival não ganhou o item raro, qual é a probabilidade de ele ter ganhado o item comum?

(c) Acima de qual valor estão das melhores pontuações de Parzival?

Seja o vetor aleat ́orio bidimensional , os valores possíveis tanto de quanto de pertencem a . Sabe-se que a probabilidade conjunta, é tal que:

Calcule:

(a) os valores esperados, e também as variâncias, ;

(b) a covariância, São variáveis aleatórias independentes?

(c) a função de probabilidade condicional de dado que , ou seja .