P1 de Probest da UFRJ - 2018.1

Numa linha de produção o número de peças defeituosas em 1 dia de operação da fábrica pode ser modelado por uma distribuição de Poisson com taxa média de ocorrência de 6 peças defeituosas por dia.

(a) Seja o intervalo de tempo, em dias, entre duas ocorrências sucessivas da fabricação de itens defeituosos. Forneça a expressão matemática da função de densidade de . Deduza através de integração a expressão matemática da função de distribuição acumulada de .

(b) Qual a probabilidade de que esteja entre 8 e 12 horas?

(c) Determine a amplitude de um intervalo de tempo para que a probabilidade de nenhuma peça defeituosa ser produzida ao longo dele seja de 90%.

Seja uma variável aleatória discreta que corresponde à durabilidade de uma peça, em anos incompletos. A função de distribuição acumulada de é dada por:

(a) Determine a função de probabilidade de .

(b) A grandeza é considerada uma característica de qualidade importante do processo de produção. Calcule o valor esperado de .

(c) A durabilidade de uma peça similar produzida por meio de um novo processo de fabricação é . Se é uma Poisson de parâmetro 2, independente de , calcule a probabilidade de que uma peça produzida pelo novo processo dure menos que uma peça produzida pelo processo original, ou seja, .

Considere a distribuição conjunta de e , parcialmente conhecida, dada pela tabela abaixo.

(a) Complete a tabela, considerando e independentes.

(b) Calcule as médias e variâncias de e .

(c) Calcule .

Para estudar o comportamento do mercado de smartphones, as marcas foram divididas em três categorias: marca , marca e marca . Um estudo sobre os hábitos de mudança de marca por parte dos usuários mostrou que o seguinte quadro de probabilidades condicionais prevalece em qualquer momento no qual um usuário típico adquire um novo aparelho:

Por exemplo: Para . A compra do primeiro smartphone é feita conforme as probabilidades a seguir: . Calcule as probabilidades de um usuário:

(a) Comprar o seu segundo smartphone de cada uma das marcas: , e ;

(b) Comprar o seu terceiro smartphone da marca , ou seja, ;

(c) Ter comprado o seu primeiro smartphone da marca , dado que o segundo também foi da marca , ou seja,