P2 de Probest da UFRJ - 2019.1

Numa linha de produção se precisa estimar a proporção de peças defeituosas. Existem dois tipos de defeitos: A e B. Sejam a proporção de peças que apresentam o defeito A e a proporção de peças que apresentam o defeito B. Deseja-se que as estimativas não se desviem das proporções verdadeiras, tanto para quanto para , por mais de 0,08 com probabilidade de 98%.

(a) Sem nenhum conhecimento prévio, quantas peças se precisa examinar para satisfazer as exigências na estimativa da proporção pA?

(b) Foi verificado que o tipo de defeito B afeta no máximo 20% das peças. Quantas peças se precisa examinar para satisfazer as exigências?

(c) Numa única amostra, quantas peças se precisa examinar para se satisfazer as duas exigências conjuntamente, tanto para pA quanto para pB?

(d) Repita o que foi feito no item (c), porém agora sendo um pouco mais tolerante com a precisão na estimação de pA: o erro absoluto deve ser menor que 0,12 com 95% de probabilidade

Os seguintes dados foram coletados de uma população normal cuja média e variância são desconhecidas: 13, 10, 8, 11, 6, 7, 12, 5, 9

(a) Achar uma estimativa pontual da média e da variância da população

(b) Qual é o intervalo de confiança de 90% para a média da população?

(c) O intervalo de confiança de 95% para a média da população contém ou está contido no intervalo de confiança de 90%? Explique sua resposta. (d) Se for testada a hipótese : µ = 11 contra : µ 6= 11 ao nível de significância α = 10% que decisão será tomada?

Temos dois conjuntos de dados:

•, de tamanho, cuja média é e cuja variância é ; e

•, de tamanho , cuja média é e cuja variância é ; e

eles foram unidos para formar um novo conjunto de dados de tamanho, cuja média é e cuja variância é .

(a) Calcule média e variância do conjunto de dados: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.

(b) Prove que

(c) Prove que

Sugestão: use as identidades: e No 1° somatório faça e , ficando com . Faça algo análogo com o 2° somatório.

(d) Usando o que deve ser provado nos itens (b) e (c), recalcule a média e a variância do conjunto de dados do item (a). Desta vez, divida os dados em um primeiro conjunto com as 5 primeiras observações e um segundo conjunto com as 7 últimas observações

Um grupo de arqueólogos propõe a teoria que o tamanho médio de crânios de seres humanos aumenta ao longo do tempo. Medições precisas garantem que atualmente tal quantidade comporta-se conforme uma distribuição normal, de média µ = 140mm e desvio padrão de 26mm. Uma amostra de 30 crânios, datadas de 6.000 anos atrás, foi observada, com um tamanho médio de 131,37mm. Desejamos aferir a validade da teoria proposta, ou seja, verificar se no passado o tamanho médio dos crânios era de fato menor. Para isso, queremos testar contra, admitindo que o desvio padrão não é afetado pela passagem do tempo.

(c) Calcule o p-valor desse teste, explicitando o seu significado

Um grupo de arqueólogos propõe a teoria que o tamanho médio de crânios de seres humanos aumenta ao longo do tempo. Medições precisas garantem que atualmente tal quantidade comporta-se conforme uma distribuição normal, de média µ = 140mm e desvio padrão de 26mm. Uma amostra de 30 crânios, datadas de 6.000 anos atrás, foi observada, com um tamanho médio de 131,37mm. Desejamos aferir a validade da teoria proposta, ou seja, verificar se no passado o tamanho médio dos crânios era de fato menor. Para isso, queremos testar contra, admitindo que o desvio padrão não é afetado pela passagem do tempo.

(a) Diga, nesse contexto, o que significam os erros tipo I e II.

(b) Teste as hipóteses contra , ao nível de significância de 5%.