Resolva o limite:
Passo 1
E aí! Pronto para mais uma etapa nessa nossa missão de entender tudo de limites?
Primeiro, vamos lembrar do primeiro passo que sempre precisamos seguir para resolver qualquer questão de limite!
Relaxa, porque é normal não lembrar de tudo no início!
O primeiro passo é substituir pelo valor para onde está indo, que é esse indicado aí embaixo do . Nessa questão, está caminhando em direção a . Logo, precisamos substituir o por em toda a expressão e calcular, pra ver no que vai dar.
O resultado deu (zero dividido por zero). No entanto, não é possível calcular quanto vale zero dividido por zero . Não dá pra dividir um número por zero! Por exemplo, podemos dividir balas por 2 pessoas (cada pessoa fica com 5 balas). Podemos dividir 10 balas por 1 pessoa (a pessoa fica com as 10 balas). Mas como vamos dividir 10 balas por 0 pessoas?
Como vemos pela figura acima, é impossível dividir por 0! Não temos pessoa para fazer essa divisão! Então nunca podemos ter um na parte de baixo de uma fração (denominado). Por isso, o resultado dessa divisão fica indeterminado, e chamamos a divisão de indeterminação. Ou seja, não podemos responder a questão com !
Passo 2
O primeiro passo mostrou que ainda não podemos substituir por , porque isso faz a parte de baixo da fração valer zero . Ou seja, isso gera uma indeterminação ! Logo, antes de substituir por , temos que nos livrar do presente na parte de baixo da fração!
Para o desaparecer da parte de baixo da fração, temos que fazer aparecer na parte de cima da equação! Assim, vamos poder cortar o de baixo com o de cima!
Para isso, vou te lembrar de um negócio chamado produto notável! Mais especificamente da diferenção de dois números elevados ao quadrado. Ela é muito legal, pois pode ser escrita como:
Assim estamos trocando dois números elevados ao quadrado ( e ) por somas e subtrações mais simples e . Usar esse produto notável pode funcionar para o nosso caso, porque um dos nossos termos do nosso limite, que é o , se parece muito com o termo do produto notável.
A primeira vista você pode não concordar com isso, porque em existem dois números elevados ao quadrado ( e ) e em apenas o está elevado ao quadrado. No entanto, se a gente se lembrar que , a semelhança vai ficar mais clara.
Com essa sacada conseguimos perceber quanto valem e para o nosso caso.
Usando esse produto notável, a gente consegue reescrever e de quebra fazer o termo aparecer na parte de cima da fração!
Agora vamos reescrever o limite e ver o que sai.
Passo 3
Reescrevendo, ficamos com isso aqui:
Vou cortar o , ok?
O que vai transformar nosso limite em :
Substituindo novamente por :
O que não nos gerou nenhum tipo de indeterminação, então:
Uhuuulll! Resultado em mãos, acabou a questão.