Calcule a integral de linha da função escalar ao longo da curva parametrizada por
Passo 1
Faaaaaaala aí! Vamos seguindo com o nosso estudo de integrais de linha,, uhul!
A integral de linha vai ser representada assim:
Onde precisamos escrever tudo de maneira parametrizada.
Temos que e pelo próprio enunciado.
A parametrização da nossa curva nos dá e .
Então temos a nossa parametrização
Passo 2
Agora que a gente já tem tudo formulado, vamos começar calculando a derivada da nossa parametrização em relação a , pois vamos precisar dela para colocar em .
Passo 3
Para derivada de a gente vai fazer a regra do produto, lembrando que a regra do produto é dada desse jeitinho aqui:
Para essa nossa derivada temos
E isso nos dá
Para derivada de vamos fazer a regra do produto de novo
Ficamos com
Passo 4
Então a derivada da nossa parametrizaçãoo que era
Fica
Colocando em evidência,Que podemos escrever como
Passo 5
Agora, calculamos , lembrando que o módulo é escrito desse jeitão aqui
Então pegando e da nossa derivada, temos
Podemos tirar o da raiz, ficando com e vamos abrir esses produtinhos notáveis
Cortando esses termos que destacamoso com o , ficamos com:
Como , temos
Passo 6
Podemos, então, substituir na integral, escrevendo em função de , ficamos com:
Tirando a da integral porque é uma constante multiplicando, temos que:
Passo 7
Já temos tudo que precisávamos, agora vVamos resolver essa integral fazer uma integração por partes., Chamando
E a formula da integração popr partes é:
Ficamos com aquela última integral pra resolver, e será necessária outra substituição por partes. Chamando, agora,
e a integral passa a ser:
Multiplicando o e arrumando melhor, ficamos com:
Perceba que estamos dando voltas. Então vamos passarPassando esse termo destacado a última integral para o outro lado, e teremos:temos
Repara que essa integral é exatamente a que estávamos tentando calcular. Vamos deixar ela sozinha passa do o dDividindo para o outro ladopor temos
Passo 8
Agora vamos voltar a nossa integral que era
Substituindo o valor que encontramos, temos que
Substituindo os limites de integração ficamos com
Que nos dáa como resultado