Encontre o fluxo exterior do campo
Através do triângulo de vértices , , .
Passo 1
Opa, fala ai tranquilinho?? Vamos seguir para ficar fera em integrais de linha!
O que o exercício pede é o fluxo, que podemos calcular por:
Mas a nossa curva é um triângulo, composto de 3 retas, de forma que:
Então, como é a união entre as retas, temos que nossa integral pode ser separada assim:
Então vamos calcular uma por uma pra ficar bem organizado!
Passo 2
Vamos começar por , que é a reta que vai de a , que pode ser parametrizada por:
Ela é o segmento de reta que liga a , certo? Seu vetor direção, que é da forma fica
Para o ponto , temos:Começando por
Agora para
Então
Logo, nossa parametrização fica:
Agora, para encontrar o vetor normal, vamos fazer:
Então nosso vetor normal é
E jogamos na integral, que é do tipo
Ficamos com:
Abrindo esse produto notável, ficamos com:
Dando um jeitinho nisso, temos
Agora, multiplicando com o nosso vetor normal, temos:
E isso nos da
Agora é só resolver a integral que fica:
Substituindo os valores, temos isso daqui:
Até agora tudo bem, vamos ver a próxima!
Passo 3
Vamos repetir as contas, mas agora pra , que é a reta de a . Fazendo a mesma parametrização do passo anterior, chegamos em
E o vetor normal a gente acha da mesma forma:
Então jogamos na integral de novo:
Isso nos dá
Fazendo essa integral, temos
Substituindo os valores dos limites de integração, ficamos com:
Essa também já foi! Só mais uma agora, vamos lá!
Passo 4
Pra fechar, temos que é a reta ligando a , parametrizando da mesma maneira dos outros, temos que
De novo, vamos ter o vetor normal:
E é só jogar na integral:
Resolvendo essa integral, temos
Substituindo os valores dos limites ficamos com
Pronto, agora é só somar tudo pra termos o resultado final!
Passo 5
Lembrando que gente tinha:
Sendo que
Então o fluxo exterior ao triângulo vai ser:
Nada tão bizarro assim, só um pouquinho trabalhoso, né? Mas agora já foi, o que importa é que resolvemos a questão. Haha 😊