Encontre a massa e o centro de massa de um fio com densidade constante que está ao longo da hélice , .

Agora precisamos achar .

As derivadas são

Então

Então pela fórmula do módulo, temos que

colocando o 4 em evidência e lembrandoque

Um valor meio feio, mas constante, então tá bom, né? haha

A massa, então, vai ser dada por:

Como e são constantes, podem sair da integral, então ficamos com

Substituindo os valores, temos

Podia ser pior, eu acho...

Mas, não acaba aqui, pois ele pede a centro de massa também, então vamos pro próximo passo.

Vamos começar com a coordenada em :

A gente já viu como fica parametrização do , que é ; a densidade é constante e vale .

Vimos também que o módulo do vetor tangente é igual a . Então, é só substituir e partir pro abraço:

Integrando isso daí, ficamos com

Substituindo os valores, temos

Como os dois cossenos zeram, temos que

Agora sim, bem simples! A nossa cordenada em fica  .

Vamos torcer pra que as outras sejam algo simples assim também.

A integral da coordenada em :

Como no passo anterior, vamos substituir os valores: a parametrização de , ; a densidade constante ; e o módulo do vetor tangente, .

Então, nossa cordenada em fica   também.

Oh, to falando que tá ficando parecido! Mas não vamos arriscar e vamos calcular a próxima que vai que questão tem uma pegadinha, né?

Por último, vamos calcular a integral da coordenada em :

Vamos pegar os valores de novo pra substituir, mas fica ligado que a parametrização do é um pouco diferente, ; o valor da densidade continua o mesmo, ; e o módulo do vetor tangente também, , nenhuma surpresa. Então:

Jogando e para fora, ficamos com

Substituindo os valores em , temos:

É, nada muito simpático, mas vamos lembrar a fórmula de  

Lembrando que , temos que:

Agora sim, um valor mais agradável!

Bem, foram muitas integrais, mas seguindo o passo-a-passo deu pra organizar tudo e não se perder, pra conseguir chegar na resposta.