Encontre a massa de um arame que tem a forma da interseção da esfera e do plano , se a densidade do arame em for .
Passo 1
Faaala ai, belezinha? Bora pra mais um exercício de integrais de linha! Uhul
Ele esta pedindo a massa, então o que nós devemos cálcular é algo no tipo, vê se você concorda:
No enunciado ele já dá a densidade , então só fica faltando parametrizar a curva e encontrar o . Então vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, nós vemos que o plano pode ser escrito como , certo?
Então, jogando na equação da esfera, temos que a projeção no plano fica assim:
Isso da pra gente:
Que é uma elipse que pode ser parametrizada por:
Mas essa é só a projeção e não podemos esquecer a coordenada da curva:
Então, finalmente:
Passo 3
Agora podemos calcular as derivadas da parametrização:
Então temos
Assim, nosso módulo que é desse jeitiho para
Fica assim para ’
Juntando os dois , teremos:
Opa! Isso é legal, parece que não vamos ter que calcular nenhuma integral muito complicada. Vamos ver como que vai ficar!
Passo 4
A nossa função em termos de será:
Vamos jogar tudo que achamos naquela fórmula da integral:
Passo 5
Agora temos que resolver esses monstrinhos!
Lembrando que:
Então vamos transformar essas integrais aí com essas relações:
Integrando isso daí, temos:
Substituindo os valores temos:
Como todos esses senos vao zerar, vamos ficar com: