Exercícios Resolvidos de Integrais Numéricas

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Enunciado

A tabela abaixo fornece a força F do arco em função da distância x . Se o arco for puxado 0,5   m , determine a velocidade v da flecha de 0,075   k g quando ela deixa o arco.

Dica: a energia cinética da flecha é igual ao trabalho realizado ao puxar o arco, isto é:

m v 2 2 = ∫ 0 0,5   m F d x

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos a velocidade v da flecha resolvendo a integral:

m v 2 2 = ∫ 0 0,5   m F d x

Usando os dados de x e F da tabela. Como temos valores numéricos de x e F , isto significa que devemos usar integração numérica para resolvermos o problema. Para isto, usaremos a função t r a p z ( ) do MATLAB. Com a solução da integral, conseguimos encontrar v ao isolá-lo na equação acima.

Passo 2

O primeiro passo para resolver o problema é entrar com os dados das tabelas no MATLAB, para daí calcularmos a integral. Crie um script novo no MATLAB e digite as linhas de código abaixo:

Na primeira linha, foi criado um vetor x para armazenar os valores de x da tabela. Como x aumenta a um passo constante na tabela, o vetor foi criado usando a sintaxe 0 : 0,05 : 0,5 de forma que ele vai de 0 a 0,5 , com um passo de 0,05 .

Na segunda linha, foi criado um vetor F para armazenar os valores de força da tabela.

Passo 3

Já temos todos os recursos para resolver a integral:

A = ∫ 0 0,5   m F d x

Usando a função t r a p z ( ) do MATLAB. Lembrando que t r a p z ( ) tem a sintaxe:

A = t r a p z ( X , Y )

Ela nos retorna o resultado A da integração, que representa a área sob a curva Y , definida no intervalo X .

Para nosso problema, o vetor x entraria no lugar de X e o vetor F no lugar de Y . No seu programa, digite a linha de código:

O resultado da integral é armazenado em A .

Passo 4

Para encontrar v , devemos isolá-lo na equação:

m v 2 2 = ∫ 0 0,5   m F d x = A

Temos que v é igual a:

v = 2 m A

Por isso, em seu programa, entre com a massa m   =   0,075   k g da flecha e implemente a equação acima, por meio das duas linhas de código:

Ao executar o programa, temos v , a velocidade da flecha quando ela deixa o arco:

Resposta

v = 44,5421   m / s