Exercícios Resolvidos de Leis de Kirchhoff – Lei dos Nós e Lei das Malhas

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Enunciado

Calcule todas as correntes através das resistências pelo método da corrente de malha:

Passo 1

Preparados para mais uma questãozinha de lei de Kirchhoff? Vamo que vamo!

Como ele nos deu as correntes no sentido horário:

Já somos capazes de estabelecer os polos positivo e negativo de cada queda de tensão, certo?

Lembrando das regrinhas:

  1. Quando a corrente passa pelo resistor, ela entra pelo polo positivo e sai pelo polo negativo da queda de tensão:
  2. Essa queda de tensão obedece a primeira lei de Ohm

    V = R ⋅ i

    Então, no resistor será igual a:

    V 2 = I ⋅ 2 Ω

  3. A fonte de tensão já vem definido o polo positivo e o polo negativo de acordo com seu símbolo:

Vamos definir todos os polos positivos e negativos para o circuito:

Para facilitar, dividi entre a malha 1 em laranja e a malha 2 em verde!

Passo 2

Vamos calcular as quedas de tensão nos resistores. Utilizaremos a Lei de Ohm:

V = R ⋅ I

  1. Calculando V a :
  2. V a = 4 ⋅ I 1

  3. Calculando V c :
  4. V c = 1 ⋅ I 1

  5. Calculando V e :
  6. V e = 1 ⋅ I 2

  7. Calculando V f :
  8. V f = 6 ⋅ I 2

  9. Calculando V g :

V g = 3 ⋅ I 2

Deixei por último as quedas de tensão V b e V d , pois elas estão sob o mesmo resistor de 5 Ω :

Vamos olhar apenas a queda de tensão V b e as correntes:

Dessa vez escreveremos a queda de tensão em função das duas correntes:

V b = 5 Ω ⋅ ( I 1 - I 2 )

Veja que eu subtraí I 2 de I 1 , pois a corrente I 1 causa esse posicionamento dos polos positivo e negativo, enquanto I 2 se opõe a essa circulação de corrente.

Vamos fazer o mesmo para V d :

Dessa vez escreveremos a queda de tensão em função das duas correntes:

V d = 5 Ω ⋅ ( I 2 - I 1 )

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Kirchhoff nessas malhas? Olhem de novo para a primeira malha:

Percorrendo de acordo com a circulação da corrente I 1 :

  • Fonte de tensão com sinal positivo:
  • 25 V

  • Queda de tensão V a com sinal negativo:
  • - V a = - 4 Ω ⋅ I 1

  • Queda de tensão V b com sinal negativo:
  • - V b = - 5 Ω ⋅ ( I 1 - I 2 )

  • Queda de tensão V c com sinal negativo:
  • - V c = - 1 Ω ⋅ I 1

    Montando a equação para essa malha, temos:

    25 - V a - V b - V c = 0

    Pela Lei de Kirchhoff, a soma de todas as tensões e quedas em uma mesma malha deve ser igual a zero!

    Vamos substituir as expressões das correntes. As unidades colocaremos só no final, beleza?

    25 - 4 ⋅ I 1 - 5 ⋅ ( I 1 - I 2 ) - 1 ⋅ I 1 = 0

    Aplicando a distributiva em:

    - 5 ⋅ I 1 - I 2 = - 5 ⋅ I 1 - 5 ⋅ ( - I 2 )

    Lembrando que multiplicação entre um número positivo com um número negativo é igual a um número negativo. Porém a multiplicação entre dois números negativos é igual a um número positivo:

    - 5 ⋅ I 1 - I 2 = - 5 ⋅ I 1 + 5 ⋅ I 2

    Então voltamos para a equação da primeira malha:

    25 - 4 ⋅ I 1 - 5 ⋅ I 1 + 5 ⋅ I 2 - 1 ⋅ I 1 = 0

    Vamos somar todos os termos que são multiplicados por I 1 :

    - 4 ⋅ I 1 - 5 ⋅ I 1 - 1 ⋅ I 1 = - 10 ⋅ I 1

    Aplicando na equação:

    25 + 5 ⋅ I 2 - 10 ⋅ I 1 = 0

    Achamos a primeira relação, vamos guardar ela com carinho! Enquanto isso vamos olhar para a segunda malha!

    Passo 4

    Vamos olhar de novo para a segunda malha:

    Percorrendo de acordo com a circulação da corrente I 2 :

  • Queda de tensão V e com sinal negativo:
  • - V e = - 1 Ω ⋅ I 2

  • Queda de tensão V f com sinal negativo:
  • - V f = - 6 Ω ⋅ I 2

  • Queda de tensão V g com sinal negativo:
  • - V g = - 3 Ω ⋅ I 2

  • Queda de tensão V d com sinal negativo:

- V d = - 5 Ω ⋅ ( I 2 - I 1 )

Montando a equação para essa malha, temos:

- V e - V f - V g - V d = 0

Pela Lei de Kirchhoff, a soma de todas as tensões e quedas em uma mesma malha deve ser igual a zero!

Vamos substituir as expressões das correntes. As unidades colocaremos só no final, beleza?

- 1 ⋅ I 2 - 6 ⋅ I 2 - 3 ⋅ I 2 - 5 ⋅ ( I 2 - I 1 ) = 0

Aplicando a distributiva em:

- 5 ⋅ ( I 2 - I 1 ) = - 5 ⋅ I 2 - 5 ⋅ ( - I 1 )

Lembrando que multiplicação entre um número positivo com um número negativo é igual a um número negativo. Porém a multiplicação entre dois números negativos é iguala um número positivo:

- 5 ⋅ I 2 - I 1 = - 5 ⋅ I 2 + 5 ⋅ I 1

Então voltamos para a equação da segunda malha:

- 1 ⋅ I 2 - 6 ⋅ I 2 - 3 ⋅ I 2 - 5 ⋅ I 2 + 5 ⋅ I 1 = 0

Vamos somar todos os termos que são multiplicados por I 2 :

- 1 ⋅ I 2 - 6 ⋅ I 2 - 3 ⋅ I 2 - 5 ⋅ I 2 = - 15 ⋅ I 2

Aplicando na equação:

- 15 ⋅ I 2 + 5 ⋅ I 1 = 0

Passando o - 15 ⋅ I 2 para o outro lado da equação

5 ⋅ I 1 = 15 ⋅ I 2

Dividindo os dois lados por 5 , ficamos com:

I 1 = 3 ⋅ I 2

Guardou essa relação? Vamos montar um sistema com as duas relações que encontramos!

Passo 4

As duas relações que encontramos foram:

25 + 5 ⋅ I 2 - 10 ⋅ I 1 = 0

I 1 = 3 ⋅ I 2

Se substituirmos a segunda relação na primeira, teremos o seguinte:

25 + 5 ⋅ I 2 - 10 ⋅ ( 3 ⋅ I 2 ) = 0

Fazendo primeiro essa multiplicação

- 10 ⋅ 3 ⋅ I 2 = - 10 ⋅ 3 I 2 = - 30 ⋅ I 2

Voltando para a equação:

25 + 5 ⋅ I 2 - 30 ⋅ I 2 = 0

25 - 25 ⋅ I 2 = 0

Agora vamos passar a corrente I 2 para o outro lado

25 = 25 ⋅ I 2

Quando passamos para o outro lado da igualdade, o sinal da corrente ficou positivo!

Dividindo os dois lados por 25 teremos:

I 2 = 1 A

UHUL, achamos a segunda corrente!

Vamos encontrar a primeira corrente, substituindo esse valor na relação:

I 1 = 3 ⋅ I 2

Logo:

I 1 = 3 ⋅ 1 = 3 A

Agora ficou fácil de achar a primeira corrente, certo? Estou sentindo que você está entendendo tudo, mas vamos fazer mais exercícios pra melhorar ainda mais!

Resposta

I 2 = 1 A

I 1 = 3 A