Exercícios Resolvidos de Leis de Kirchhoff – Lei dos Nós e Lei das Malhas

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Enunciado

Equacione o circuito abaixo, usando as leis de Kirchhoff:

Passo 1

Aeeee última questão para fechar com chave de ouro!!!

Olha só o que enunciado nos pediu, para equacionar. Então vai ser isso que faremos, não iremos resolver, apenas equacionar, ta bom? Então vamos lá!

O primeiro passo é definirmos nossas correntes, então como temos 3 malhas, teremos três correntes, veja:

O sentido das correntes foi escolhido arbitrariamente, você poderia escolher outros sentidos, se preferisse. Mas minha dica é escolher no mesmo sentido para evitar confusão no futuro 😉

Passo 2

Já somos capazes de estabelecer os polos positivo e negativo de cada queda de tensão, certo?

Vou mostrar um exemplo só para lembrarmos da regrinha, beleza?

  1. Quando a corrente passa pelo resistor, ela entra pelo polo positivo e sai pelo polo negativo da queda de tensão:
  2. Essa queda de tensão no resistor será igual a:

    V 2 = I ⋅ 2 Ω

  3. A fonte de tensão já vem definido o polo positivo e o polo negativo de acordo com seu símbolo:

Vamos definir todos os polos positivos e negativos para o circuito. Primeiro para as fontes de tensão:

Agora os polos positivo e negativo para as malhas 1 , 2 e 3 :

Passo 3

Vamos calcular as quedas de tensão nos resistores. Utilizaremos a Lei de Ohm:

V = R ⋅ I

  1. Calculando V R 1 :
  2. V R 1 = 4 I 1

  3. Calculando V R 2 :
  4. V R 2 = 2 I 1

  5. Calculando V R 3 :
  6. V R 3 = 6 ⋅ ( I 1 - I 3 )

    Fazemos essa subtração, pois quem causa esse posicionamento dos polos positivo e negativo de V R 3 é a corrente I 1 , porém a corrente I 3 é contrária a essa queda de tensão.

  7. Calculando V R 9 :
  8. V R 9 = 6 ⋅ ( I 3 - I 1 )

    Estamos fazendo a mesma subtração, só que invertemos as correntes por conta da polaridade!

  9. Calculando V R 4 :
  10. V R 4 = 5 ⋅ ( I 1 - I 2 )

  11. Calculando V R 8 :
  12. V R 8 = 5 ⋅ ( I 2 - I 1 )

  13. Calculando V R 5 :
  14. V R 5 = 3 I 2

  15. Calculando V R 6 :
  16. V R 6 = 2 ⋅ ( I 2 - I 3 )

  17. Calculando V R 10 :
  18. V R 10 = 2 ⋅ ( I 3 - I 2 )

  19. Calculando V R 7 :

V R 7 = 10 I 3

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Kirchhoff nessas malhas? Vamos olhar de novo para a primeira malha:

Percorrendo de acordo com a circulação da corrente I 1 :

  • Fonte de tensão com sinal positivo:
  • 20 V

  • Queda de tensão V R 1 com sinal negativo:
  • - V R 1 = - 4 I 1

  • Queda de tensão V R 2 com sinal negativo:
  • - V R 2 = - 2 I 1

  • Queda de tensão V R 4 com sinal negativo:
  • - V R 4 = - 5 ⋅ ( I 1 - I 2 )

  • Fonte de tensão com sinal negativo:
  • - 10 V

  • Queda de tensão V R 3 com sinal negativo:
  • - V R 3 = - 6 ⋅ ( I 1 - I 3 )

    Montando a equação para essa malha, temos:

    20 - V R 1 - V R 2 - V R 4 - 10 - V R 3 = 0

    Pela Lei de Kirchhoff, a soma de todas as tensões e quedas em uma mesma malha deve ser igual a zero!

    Vamos substituir as quedas de tensão calculadas anteriormente

    20 - 4 I 1 - 2 I 1 - 5 ⋅ ( I 1 - I 2 ) - 10 - 6 ⋅ ( I 1 - I 3 ) = 0

    Aplicando a distributiva em:

    - 5 ⋅ I 1 - I 2 = - 5 I 1 - 5 ( - I 2 )

    E em:

    - 6 ⋅ I 1 - I 3 = - 6 I 1 - 6 ( - I 3 )

    Lembrando que multiplicação entre um número positivo com um número negativo é igual a um número negativo. Porém a multiplicação entre dois números negativos é iguala um número positivo:

    - 5 ⋅ I 1 - I 2 = - 5 I 1 + 5 I 2

    E

    - 6 ⋅ I 1 - I 3 = - 6 I 1 + 6 I 3

    Então voltamos para a equação da primeira malha:

    20 - 4 I 1 - 2 I 1 - 5 I 1 + 5 I 2 - 10 - 6 I 1 + 6 I 3 = 0

    Vamos somar todos os termos que são multiplicados por I 1 :

    20 - 10 - 17 I 1 + 5 I 2 + 6 I 3 = 0

    Podemos subtrair esse 20 com o 10

    10 - 17 I 1 + 5 I 2 + 6 I 3 = 0

    Achamos a primeira relação, vamos guardar ela com carinho! Enquanto isso vamos olhar para a segunda malha!

    Passo 5

    Olhando agora para a segunda malha:

    Percorrendo de acordo com a circulação da corrente I 2 :

  • Fonte de tensão com sinal positivo:
  • + 10 V

  • Queda de tensão V R 8 com sinal negativo:
  • - V R 8 = - 5 ⋅ ( I 2 - I 1 )

  • Queda de tensão V R 5 com sinal negativo:
  • - V R 5 = - 3 I 2

  • Fonte de tensão com sinal negativo:
  • - 20 V

  • Queda de tensão V R 6 com sinal negativo:
  • - V R 6 = - 2 ⋅ ( I 2 - I 3 )

    Montando a equação para essa malha, temos:

    10 - V R 8 - V R 5 - 20 - V R 6 = 0

    Pela Lei de Kirchhoff, a soma de todas as tensões e quedas em uma mesma malha deve ser igual a zero!

    Vamos substituir as quedas de tensões que encontramos anteriormente

    10 - 5 ⋅ ( I 2 - I 1 ) - 3 I 2 - 20 - 2 ⋅ ( I 2 - I 3 ) = 0

    Aplicando a distributiva em:

    - 5 ⋅ ( I 2 - I 1 ) = - 5 I 2 - 5 ⋅ ( - I 1 )

    E em:

    - 2 ⋅ ( I 2 - I 3 ) = - 2 I 2 - 2 ⋅ ( - I 3 )

    Lembrando que multiplicação entre um número positivo com um número negativo é igual a um número negativo. Porém a multiplicação entre dois números negativos é iguala um número positivo:

    - 5 ⋅ ( I 2 - I 1 ) = - 5 I 2 + 5 I 1

    E

    - 2 ⋅ ( I 2 - I 3 ) = - 2 I 2 + 2 I 3

    Então voltamos para a equação da segunda malha:

    10 - 5 I 2 + 5 I 1 - 3 I 2 - 20 - 2 I 2 + 2 I 3 = 0

    Vamos somar todos os termos que são multiplicados por I 2 :

    10 - 10 I 2 + 5 I 1 - 20 + 2 I 3 = 0

    Podemos subtrair o 10 com o 20

    - 10 + 5 I 1 - 10 I 2 + 2 I 3 = 0

    Achamos a segunda relação, vamos guardar mais ela com carinho! Enquanto isso vamos olhar para a terceira e última malha!

    Passo 6

    Olhando a terceira e última malha:

    Percorrendo de acordo com a circulação da corrente I 3 :

  • Fonte de tensão com sinal positivo:
  • + 5 V

  • Queda de tensão V R 9 com sinal negativo:
  • - V R 9 = - 6 ⋅ ( I 3 - I 1 )

  • Queda de tensão V R 10 com sinal negativo:
  • - V R 10 = - 2 ⋅ ( I 3 - I 2 )

  • Fonte de tensão com sinal negativo:
  • - 5 V

  • Queda de tensão V R 7 com sinal negativo:

- V R 7 = - 10 I 3

Pela Lei de Kirchhoff, a soma de todas as tensões e quedas em uma mesma malha deve ser igual a zero!

5 - V R 9 - V R 10 - 5 - V R 7 = 0

Vamos substituir as quedas de tensão encontradas acima

5 - 6 ⋅ ( I 3 - I 1 ) - 2 ⋅ ( I 3 - I 2 ) - 5 - 10 I 3 = 0

Aplicando a distributiva em:

- 6 ⋅ ( I 3 - I 1 ) = - 6 I 3 - 6 ⋅ ( - I 1 )

E em:

- 2 ⋅ ( I 3 - I 2 ) = - 2 I 3 - 2 ⋅ ( - I 2 )

Lembrando que multiplicação entre um número positivo com um número negativo é igual a um número negativo. Porém a multiplicação entre dois números negativos é iguala um número positivo:

- 6 ⋅ ( I 3 - I 1 ) = - 6 I 3 + 6 I 1

E

- 2 ⋅ ( I 3 - I 2 ) = - 2 I 3 + 2 I 2

Então voltamos para a equação da terceira malha:

5 - 6 I 3 + 6 I 1 - 2 I 3 + 2 I 2 - 5 - 10 I 3 = 0

Vamos somar todos os termos que são multiplicados por I 3 :

5 - 5 + 6 I 1 + 2 I 2 - 18 I 3 = 0

Podemos subtrair o 5 com o outro 5

6 I 1 + 2 I 2 - 18 I 3 = 0

Achamos a terceira relação! Cumprimos o nosso propósito! Vamos relembrar todas as equações? Elas são:

10 - 17 ⋅ I 1 + 5 ⋅ I 2 + 6 ⋅ I 3 = 0 - 10 + 5 ⋅ I 1 - 10 ⋅ I 2 + 2 ⋅ I 3 = 0 6 ⋅ I 1 + 2 ⋅ I 2 - 18 ⋅ I 3 = 0

Resposta

10 - 17 ⋅ I 1 + 5 ⋅ I 2 + 6 ⋅ I 3 = 0 - 10 + 5 ⋅ I 1 - 10 ⋅ I 2 + 2 ⋅ I 3 = 0 6 ⋅ I 1 + 2 ⋅ I 2 - 18 ⋅ I 3 = 0