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Exercícios Resolvidos de Medidas de Dispersão

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Exercício 91234567810

Enunciado

Temos dois conjuntos de dados:

• x 1 ,   x 2 , … , x m , de tamanho m , cuja média é x ̄ e cuja variância é s x 2 ; e

• y 1 ,   y 2 ,   . . . ,   y n , de tamanho n , cuja média é y ̄ e cuja variância é s y 2 ; e

eles foram unidos para formar um novo conjunto de dados x 1 ,   x 2 ,   . . . ,   x m ,   y 1 ,   y 2 ,   . . . ,   y n de tamanho m + n , cuja média é z ̄ e cuja variância é s z 2 .

(a) Calcule média e variância do conjunto de dados: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.

(b) Prove que z ̄ =   m ⋅ x ̄ + n ⋅ y ̄ m + n

(c) Prove que s z 2 = ( m - 1 ) ⋅ s x 2 + m ⋅ ( x ̄ - z ̄ ) 2 + ( n - 1 ) ⋅ s y 2 + n ⋅ ( y ̄ - z ̄ ) 2 m + n - 1

Sugestão: use as identidades: ∑ i = 1 m ( x i - z ̄ ) 2 = ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ +   x ̄ - z ̄ ) 2 e ∑ i = 1 n ( y i - z ̄ ) 2 = ∑ i = 1 n ( y i - y ̄ +   y ̄ - z ̄ ) 2 . No 1° somatório faça a i = x i - x ̄ e b   =   x ̄ - z ̄ , ficando com ∑ i = 1 m ( a i 2 + b 2 + 2 ⋅ a i ⋅ b ) . Faça algo análogo com o 2° somatório.

(d) Usando o que deve ser provado nos itens (b) e (c), recalcule a média e a variância do conjunto de dados do item (a). Desta vez, divida os dados em um primeiro conjunto com as 5 primeiras observações e um segundo conjunto com as 7 últimas observações

Passo 1

(a) Vamos chamar de z ̄   e s z 2 a média amostral e variância amostral, respectivamente. Para calcular a média, basta somar todas as observações e dividir pelo número de observações

z ̄ = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 12 = 7 12 = 0,5833

Passo 2

Para a variância, vamos usar a fórmula

s 2 = ∑ i = 1 N z i 2 -   N ⋅ z ̄   2 N - 1 = 7 - 12 ⋅ ( 0,5833 ) 2 11 = 0,265

Passo 3

(b) A expressão que a gente tem que começar a destrinchar é essa aqui:

z ̄ = 1 m + n ∑ i   =   1 m + n z i

Passo 4

Para mostrar essa fórmula, observa que ∑ i = 1 m + n z i = ∑ i = 1 m x i + ∑ i = i n y i .

E usa as fórmulas das médias também: x ̄ = 1 m ∑ i = 1 m x i → ∑ i = 1 m x i = m ⋅ x ̄ .

Da mesma forma, ∑ i = 1 n y i = n ⋅ y ̄

Passo 5

Agora substituindo tudo na expressão de z ̄ :

z ̄ = 1 m + n ∑ i   =   1 m + n z i =   1 m + n ( ∑ i = 1 m x i + ∑ i = i n y i ) =   1 m + n ( m ⋅ x ̄ +   n ⋅ y ̄ )

Passo 6

(c) Vamos lá, essa vai dar um certo trabalho.

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da variância: s z 2 = ∑ i = 1 m + n ( z i - z ̄ ) 2 m + n - 1 . Vamos esquecer um pouco o denominador e fazer conta só com o numerador (no final a gente volta com o denominador).

Observa que ∑ i = 1 m + n ( z i - z ̄ ) 2 = ∑ i = 1 m ( x i - z ̄ ) 2 + ∑ i = 1 n ( y i - z ̄ ) 2 . Isso acontece porque o conjunto dos z i ' s são formados pelos x i ' s e y i ' s .

Passo 7

Agora vamos usar as dicas do enunciado:

∑ i = 1 m ( x i - z ̄ ) 2 = ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ +   x ̄ - z ̄ ) 2

E lembrar que ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Então no primeiro somatório temos ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ +   x ̄ - z ̄ ) 2   =   ∑ i = 1 m [ ( x i - x ̄ ) 2 + 2 ( x i - x ̄ ) ⋅ ( x ̄ - z ̄ )   + ( x ̄ - z ̄ ) 2 ]  

Passo 8

Agora vamos abrir esse somatório:

∑ i = 1 m [ ( x i - x ̄ ) 2 + 2 ( x i - x ̄ ) ⋅ ( x ̄ - z ̄ )   + ( x ̄ - z ̄ ) 2 ] = ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ ) 2 + 2 ⋅ ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ ) ⋅ ( x ̄ - z ̄ ) + ∑ i = 1 m ( x ̄ - z ̄ ) 2

Passo 9

Vamos lá, tá quase acabando! A gente tem três somatórios agora, certo? Deixa eu nomear eles de S 1 ,   S 2 e S 3 respectivamente.

Pra S 1 → s x 2 = 1 m - 1 ⋅ ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ ) 2   =   1 m - 1 ⋅ S 1 → S 1 = ( m - 1 ) ⋅ s x 2

Pra S 2 → S 2 = ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ ) ⋅ ( x ̄ - z ̄ )   =   ( x ̄ - z ̄ ) ⋅ ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ ) .   Mas agora se liga que ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ ) = ( ∑ i = 1 m x i ) -   m ⋅ x ̄   =   m ⋅ x ̄ - m ⋅ x ̄ = 0

E S 3 → S 3 = ∑ i = 1 m ( x ̄ - z ̄ ) 2   = m ⋅ ( x ̄ - z ̄ ) 2  

Passo 10

Onde a gente chegou foi: ∑ i = 1 m ( x i - z ̄ ) 2 = ( m - 1 ) ⋅ s x 2   + m ⋅ ( x ̄ - z ̄ ) 2 .  

Agora fazendo essa mesma conta para y i :

∑ i = 1 m ( y i - z ̄ ) 2 = ( n - 1 ) ⋅ s y 2   + n ⋅ ( y ̄ - z ̄ ) 2 .

Passo 11

Acabou! Agora é substituir na primeira fórmula lá (lembrando de botar o denominador)

s z 2 = ∑ i = 1 m + n ( z i - z ̄ ) 2 m + n - 1   = ∑ i = 1 m ( x i - z ̄ ) 2 + ∑ i = 1 n ( y i - z ̄ ) 2 m + n - 1   = ( m - 1 ) ⋅ s x 2 + m ⋅ ( x ̄ - z ̄ ) 2 + ( n - 1 ) ⋅ s y 2 + n ⋅ ( y ̄ - z ̄ ) 2 m + n - 1

Passo 12

(d) Agora vamos usar as fórmulas para calcular de novo a média e a variância:

z ̄ = 1 m + n ( m ⋅ x ̄ +   n ⋅ y ̄ )

Usando que m = 5 ,   x ̄   =   0 ,   n   =   7 e y ̄ = 1 , temos:

z ̄ =   5 ⋅ 0 + 7 ⋅ 1 12 = 7 12 =   0,5833

Passo 13

s z 2 =   ( 5 - 1 ) ⋅ s x 2   +   5 ⋅ ( 0 - 0,5833 ) 2 +   ( 7 - 1 ) ⋅ s y 2   +   7 ⋅ ( 1 - 0,5833 ) 2 12 - 1

Calculando, temos que s x 2 = 0 e s y 2 = 0 . Substituindo, ficamos com

s z 2 = 0,265

Resposta

(a) 0,5833

(b) 0,265

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