Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan
Enunciado
Considere o seguinte sistema linear
Utilizando o método de Gauss-Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida?
Passo 1
Fala Aíí!!! Vamos utilizar o método de Gauss-Jordan para tentar encontrar a solução do problema.
Lembrando que no método de Gauss-Jordan queremos deixar a matriz aumentada “diagonalizada”, ou seja, somente com a coluna principal. Ficou confuso?! Seria algo desse formato aqui ó,
Repare que todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal da matriz são nulos. Show de bola?!
Passo 2
O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:
Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:
Começamos passando para a forma de matriz aumentada:
Beleza?!
Passo 3
Fase 1 – Eliminação:
Vamos encontrar o pivô da primeira linha.
Não sabe o que significa o pivô???? Calmaaa!! Pivô nada mais é do que o primeiro elemento não nulo da linha. Ou seja, na primeira linha será o número 5:
Show de bola?! Agora vamos às continhas pra zerar os números embaixo desse pivô!
:
:
Agora vamos para o segundo pivô (primeiro elemento não nulo da segunda linha)
Para zerar o elemento abaixo dele, basta fazermos
:
Beleza?!
Passo 4
Agora pensa comigo... Queremos deixar a matriz na forma diagonalizada, certo?! Então a nossa diagonal principal deve ser composta por “”. Então, vamos arrumar a diagonal da nossa matriz!
Primeiro vamos dividir a primeira linha da matriz por , ou seja
Assim,
Vamos dividir também a segunda linha por , já que queremos que nossa matriz na diagonal principal só tenha !
Assim,
Da mesma forma, vamos dividir a terceira linha por , assim conseguimos deixar toda a diagonal principal composta por “”.
Ficamos com
Beleza?! Então já conseguimos zerar os elementos abaixo dos pivôs e deixamos a nossa diagonal direitinha! Terminamos aqui?! NÃÃÃO!!!
Passo 5
Já zeramos o elemento abaixo do pivô da primeira e da segunda linha! Agora precisamos zerar os elementos acima dos pivôs da segunda e da terceira linha!!
Vamos primeiro zerar os elementos acima do pivô da última linha! Para isso,
Fazendo as comtinhas,
Beleza?! Agora só falta zerar o elemento acima do pivô da segunda linha!
Para isso,
OPAAA! Essa então é a nossa matriz na forma escalonada reduzida!!