Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan
Enunciado
Resolva o o seguinte sistema de equações lineares
Usando o método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Fala Aíí! Precisamos utilizar o método de Gauss-Jordan para tentar encontrar a solução do sistema de equações lineares. Vamos lá?!
Lembrando que no método de Gauss-Jordan queremos deixar a matriz aumentada “diagonalizada”, ou seja, somente com a coluna principal. Ficou confuso?! Seria algo desse formato aqui ó,
Repare que todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal da matriz são nulos. Show de bola?!
Passo 2
O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:
Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:
Começamos passando para a forma de matriz aumentada:
Beleza?!
Passo 3
Fase 1 – Eliminação:
Vamos encontrar o pivô da primeira linha.
Pivô nada mais é do que o primeiro elemento não nulo da linha. Ou seja, na primeira linha será o número 1:
Show de bola?! Agora vamos às continhas pra zerar os números embaixo desse pivô! Podemos começar com
Assim, fazendo as continhas
Opa! Já zeramos os dois elementos abaixo do pivô da primeira linha! Agora vamos zerar o elemento abaixo do pivô da segunda linha
Faremos a combinação
E ficamos com
Beleza?!
Passo 4
Agora pensa comigo... Queremos deixar a matriz na forma diagonalizada, certo?! Então a nossa diagonal principal deve ser composta por “”. Então, vamos arrumar a diagonal da nossa matriz!
Para isso, precisamos apenas multiplicar a segunda linha por . Ou seja,
Assim,
Beleza?!
Passo 5
Já zeramos o elemento abaixo do pivô da primeira e da segunda linha! Agora precisamos zerar os elementos acima dos pivôs da segunda e da terceira linha!!
Vamos começar zerando o elemento acima do pivô da terceira linha! Para isso,
Fazendo as continhas, temos
Show?! Agora só falta zerarmos o elemento acima do pivô da segunda linha!
Para isso, faremos
Fazendo a continha, ficamos com
Ufa!! Agora só precisamos voltar pro sisteminha!!!
Passo 6
Voltando pra forma de sistema:
Pegando a nossa matriz
E passando para a forma de sistema, temos
Logo, nossa solução é