Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan
Enunciado
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
Passo 1
Vamos lá!! Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:
Começamos passando para a forma de matriz aumentada:
Beleza?!
Lembrando que no método de Gauss-Jordan queremos deixar a matriz aumentada “diagonalizada”, ou seja, somente com a coluna principal. Ficou confuso?! Seria algo desse formato aqui ó,
Repare que todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal da matriz são nulos. Show de bola?!
Passo 2
Fase 1 – Eliminação:
:
Opa, para facilitar nossa vida, podemos trocar a segunda e a terceira linhas:
:
Continuando:
:
Como vemos, foi necessário trocar uma linha (a segunda com a terceira linha)
Passo 3
Agora pensa comigo... Queremos deixar a matriz na forma diagonalizada, certo?! Então a nossa diagonal principal deve ser composta por “”. Então, vamos arrumar a diagonal da nossa matriz!
Para isso, vamos multiplicar a segunda linha da matriz por e dividir a terceira linha da matriz por . Ou seja,
Assim, fazendo as continhas, ficamos com a matriz
Beleza?!
Passo 4
E agora?? Agora Já zeramos o elemento abaixo do pivô da primeira e da segunda linha! Agora precisamos zerar os elementos acima dos pivôs da segunda e da terceira linha!!
Vamos começar zerando os elementos acima do pivô da terceira linha. Para isso, faremos
Fazendo as continhas, temos
Da mesma forma, para zerar o outro termo acima do pivô da terceira linha, faremos
Assim,
Beleza?!
Por último, vamos zerar o elemento acima do pivô da segunda linha!
Para isso, faremos
Fazendo as continhas, temos
OPA! Já temos a nossa matriz diagonal!! Agora é só voltar pra forma de sistema!
Passo 5
Fase 2 – Voltar pra forma de sistema:
Passando para a forma de sistema:
Logo, nossa solução geral é: