Exercícios Resolvidos de Método do Equilíbrio de Nós Secundários

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Enunciado

a) Determine as forças normais nas barras da treliça da figura abaixo.

b) Sabendo que as barras desta treliça se rompem para forças de compressão de 100 KN e para forças de tração de 200 KN, determinar o valor de P que levaria essa treliça a ruptura.

Passo 1

Esse exercício é separado em duas partes, então vamos começar resolvendo a letra (a) e depois vamos para (b), de forma a ficar mais claro, como resolver!

Bom na letra (a), precisamos usar o método dos nós para poder encontrar todas as reações presentes nas barras da treliça.

Vamos começar marcando as reações dos apoios, são elas:

Agora vamos utilizar o equilíbrio da treliça;

Somatório dos momentos em relação ao ponto I:

- 3 P ⋅ 2 a + P ⋅ 2 a - Y j ⋅ 4 a = 0 - 6 P + 2 P - 4 Y j = 0 - Y j = 4 P 4 Y j =   - P   K N

Somatório das forças horizontais igual a zero:

X i + P = 0 X i =   - P   K N

Somatório das forças verticais igual a zero:

Y i + Y j - 3 P = 0 Y i - P - 3 P = 0 Y i = 4 P   K N

Passo 2

Para esse tipo de exercício, podemos utilizar um macete para facilitar nossas contas, como pudemos perceber as treliças estão meio que todas com a mesma inclinação, podemos tentar rotacionar nosso eixo de referencial para facilitar as contas!

Seguindo essa linha de pensamento, podemos começar pelo Nó E, que é um nó central ao quadrado ABIH, e aí poderemos observar que:

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 N 5 = 0

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 N 6 - N 13 =   0 N 6 = N 13

Seguindo essa mesma linha de raciocínio, teremos no Nó F;

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 N 8 = 0

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 N 6 - N 13 =   0 N 9 = N 14

Seguindo essa mesma linha de raciocínio, teremos no Nó G;

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 N 11 = 0

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 N 10 - N 15 =   0 N 10 = N 15

Seguindo essa mesma linha de raciocínio, teremos no Nó A;

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 N 1 = 0

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 N 4 =   0

Seguindo essa mesma linha de raciocínio, teremos no Nó D;

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 N 3 - P = 0 N 3 = P   K N

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 N 12 =   0

Passo 3

Agora, iremos observar nós um pouco mais complexos, como o Nó H;

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 N 13 ⋅ 2 2 - 3 P = 0 N 13 = N 6 = 3 2 ⋅ P   K N

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 N 13 ⋅ 2 2 + N 16 =   0 N 16 =   - 3 P   K N

Agora o nó B;

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 - 3 2 P ⋅ 2 2 + N 2 = 0 N 2 =

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 3 2 P ⋅ 2 2 + N 7 =   0 N 7 =   - 3 P   K N

Agora o nó I;

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 N 9 - N 14 = 0 N 9 =   - 2 P   K N

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 4 P - 3 P + N 14 ⋅ 2 2 =   0 N 14 =   - 2 P   K N

Agora o nó J;

Somatório das forças verticais iguais a zero:  

∑ F y = 0 - N 15 ⋅ 2 2 + P = 0 N 15 = P 2   K N

Somatório das forças horizontais iguais a zero:

∑ F x = 0 N 17 + 3 P + N 14 ⋅ 2 2 - P =   0 N 17 = -   P   K N

Passo 4

Resolvendo a letra (b)

Precisamos entender o seguinte, a treliça se rompe em duas condições:

A primeira, é se as barras sofrerem uma compressão de no máximo 100 KN e a segunda se tração for de no máximo 200 KN.

Então precisamos pensar no seguinte!

De todas as barras que sofrem compressão (+), qual é a maior? Concorda comigo que é são as barras 7 ou 16. Assim,

3 P = 100 P = 33,33   K N De todas as barras que sofrem compressão (+), qual é a maior? Concorda comigo que é são as barras 6 ou 13. Assim,

32P=100P=47,14 K

3 2 ⋅ P = 200 P = 47,14   K N Dessa forma, podemos concluir que a treliça se rompe para P = 33,33 K

Resposta

(a)

N1 = 0 KN

N2 = 3P KN

N3 = P KN

N4 = 0 KN

N5 = 0 KNN6 = 3P 2 KN

N7 = -3P KN

N8 = 0 KN

N9 = - 2 P KNN10 = P 2 KNN11 = 0 KNN12 = 0 KNN13 = 3P 2 KNN14 = - 2 P KNN15 = P 2 KNN16 = -3P KNN17 = -P KN

(b) A barra se rompe para P = 33,33 KN

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