Escreva a equação diferencial não-linear de segunda ordem como um sistema autônomo plano. Ache todos os pontos críticos do sistema resultante.
Passo 1
Para escrever como um sistema autônomo plano temos primeiro que criar uma variável . De forma que.
Como , o sistema ficará no seguinte formato.
Passo 2
Para acharmos os pontos críticos temos que igualar e a zero. Sendo assim.
De cara a gente já vê que a coordenada do nosso ponto crítico é zero. Vamos analisar a segunda equação com
Logo e o ponto crítico será .
Resposta
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4 - (d x)/(d t) = a y , (d y)/(d t) = - b x ; a0 , b0 ; x (0) = sqrt(a) , y (0) = 0 .
Prove que, para o sistema d x / d t=F ( x ,y ) ,d y / d t=G ( x ,y ) existe no máximo uma trajetória passando por um ponto dado (x0, y0).Sugestão: Seja C 0 a trajetória gerada pela solução x=ϕ 0 ( t )
Dado quex=ϕ ( t ) ,y=ψ ( t ) é uma solução do sistema autônomo d x / d t=F ( x ,y ) ,d y / d t=G ( x ,y ) para αtβ , mostre quex=Φ ( t )=ϕ ( t–s ) ,y=Ψ ( t )=ψ ( t–s ) é uma solução paraα+stβ+s para q
Supondo que a trajetória correspondente a uma soluçãox=ϕ ( t ) ,y=ψ ( t ) ,- ∞t∞ , de um sistema autônomo é fechada, mostre que a solução é periódica.Sugestão: Como a trajetória é fechada, existe pelo
Prove que, se uma trajetória começa em um ponto não crítico do sistema: d x d t =F x ,y , d y d t =G x ,y então não pode atingir um ponto crítico ( x 0 ,y 0 ) em um intervalo de tempo finito.Sugestão: