USP, Física 4, P3 2017, 2
Uma partícula quântica de massa m executa oscilações harmônicas, em uma dimensão,
num potencial , onde k é a constante da “mola”. Sua função de onda num
estado estacionário é , onde A e b são constantes.
(a) Determine o valor de b (como função de m, k e ћ).
(b) Determine o valor da energia desta partícula neste estado.
(c) Determine o valor médio esperado de neste estado. Deixe sua resposta em função da constante b.
Passo 1
A fórmula geral de Schrödinger é dada por
Mas nesse caso quando temos essa espécie de “mola” passamos a ter o que chamamos de oscilador harmônico simples.
O funcionamento dele se diferencia dos outros no sentido que o seu potencial é dado por uma equação, nesse caso a equação foi dada no enunciado e é dada por
Dito isso agora precisamos cumprir o primeiro objetivo da questão que se refere exatamente a descobri o valor de b.
Para isso precisamos isolar a nossa derivada segunda na equação de Schrödinger. Com isso teremos que
Sabendo que a equação de onda é dada por as suas derivadas segundas serão dada por
Substituindo na equação principal teremos
Substituindo os termos
Teremos que
Isolando teremos que
Para um polinômio se anular é necessário que os coeficientes das várias potências sejam nulos. O termo proporcional a fornece b.
Passo 2
Para o item B é fácil calcular o valor da energia, basta apenas pegarmos o valor constante da equação que calculamos no item A e igualar ele a zero também.
Passo 3
Agora para o item C, precisamos tomar alguns cuidados. Primeiro temos que saber que a fórmula que da o valor médio esperado é
Em que pelo formulário podemos tirar que
E
Usando agora os dados do nosso exercício teremos a seguinte solução
Substituindo os nossos dados nas repostas teremos
Resposta
a)
b)
c)