Sejam
E
O polinômio de Taylor de ordem 1 de em volta de .
- Mostre que para todo com ,
- Determine com precisão até a segunda casa decimal. Justifique.
Passo 1
Se é o polinômio de Taylor de ordem 1 da função , então essa diferença
Representa o erro que cometemos ao aproximar a função pelo polinômio. Assim
Passo 2
A fórmula do erro é
Vamos então calcular essas derivadas pra ver se essa expressão resulta igual a expressão que tá no enunciado.
Assim
Colocando em evidencia:
E isso que tá entre colchetes é um produto notável, então
Passo 3
Beleza, agora, o enunciado nos diz que , então
Conforme diz o enunciado.
Passo 4
Aqui, estamos querendo calcular o valor de .
Para isso vamos calcular o polinimio de Taylor de grau 1 em torno de zero e depois a gente substitui tal que , isso porque queremos
Beleza?
Para acharmos o polinômio de Taylor a primeira coisa é achar as derivadas de ordem da minha função e isso já fizemos na letra :
Agora temos que achar essas derivadas no ponto
Passo 5
Agora vamos achar os termos do polinômio, lembrando que
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser
Se tivermos a derivada em relação a o termo vai ser
Se tivermos a derivada em relação a e em relação a o termo vai ser
Então os termos vão ser
O polinômio vai ser
Passo 6
Agora queremos saber o valor do polinimio em tal que .
Para isso,podemos usar .
Assim, calculando o polinimio nesse ponto:
Então