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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x,y)

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Exercício 312456

Enunciado

Use o polinômio de Taylor de ordem 2 em p → = 1,1 para aproximar f x , y = x 1 / 2 y 1 / 2 em q → = 1.2,0.9

Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar as derivadas de ordem 2 dessa função f x , y

∂ f ∂ x = 1 2 x - 1 / 2 y 1 / 2

∂ f ∂ y = 1 2 x 1 / 2 y - 1 / 2

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 4 x - 3 / 2 y 1 / 2

∂ 2 f ∂ y 2 = - 1 4 x 1 / 2 y - 3 / 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1 4 x - 1 / 2 y - 1 / 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 1 4 x - 1 / 2 y - 1 / 2

É normal essas últimas duas darem iguais, mas precisamos calcular os dois para não esquecer no final.

Passo 2

Temos agora que achar essas derivadas e a função no ponto que ele deu

f 1,1 = 1 1 / 2 1 1 / 2 = 1

∂ f ∂ x 1,1 = 1 2 1 - 1 / 2 1 1 / 2 = 1 2

∂ f ∂ y 1,1 = 1 2 1 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 2

∂ 2 f ∂ x 2 1,1 = - 1 4 1 - 3 / 2 1 1 / 2 = - 1 4

∂ 2 f ∂ y 2 1,1 = - 1 4 1 1 / 2 1 - 3 / 2 = - 1 4

∂ 2 f ∂ x ∂ y 1,1 = 1 4 1 - 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 4

∂ 2 f ∂ y ∂ x 1,1 = 1 4 1 - 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 4

Passo 3

Agora achamos cada termo do polinômio, lembrando que

Se tivermos a derivada em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ x n x 0 , y 0 x - x 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y o termo vai ser

∂ n f ∂ y n x 0 , y 0 y - y 0 n n !

Se tivermos a derivada em relação a y e em relação a x o termo vai ser

∂ n f ∂ y m ∂ x p x 0 , y 0 y - y 0 m x - x 0 p n !

OS termos vão ser

f 1,1 = 1 = 0

∂ f ∂ x 1,1 x - 1 1 1 ! = 1 2 x - 1 1 = x 2 - 1 2

∂ f ∂ y 1,1 y - 1 1 1 ! = 1 2 y - 1 1 = y 2 - 1 2

∂ 2 f ∂ x 2 1,1 x - 1 2 2 ! = - 1 4 x - 1 2 2 = - 1 8 x 2 - 2 x + 1 = - x 2 8 + x 4 - 1 8

∂ 2 f ∂ y 2 1,1 y - 1 2 2 ! = - 1 4 y - 1 2 2 = - 1 8 y 2 - 2 y + 1 = - y 2 8 + y 4 - 1 8

∂ 2 f ∂ x ∂ y 1,1 x - 1 1 y - 1 1 2 ! = 1 4 x - 1 y - 1 2 = 1 8 x y - x - y + 1 = x y 8 - x 8 - y 8 + 1 8

∂ 2 f ∂ y ∂ x 1,1 x - 1 1 y - 1 1 2 ! = 1 4 x - 1 y - 1 2 = 1 8 x y - x - y + 1 = x y 8 - x 8 - y 8 + 1 8

Passo 4

O polinômio vai ser

P 2 x , y = 1 + x 2 - 1 2 + y 2 - 1 2 + - x 2 8 + x 4 - 1 8 + - y 2 8 + y 4 - 1 8 + x y 8 - x 8 - y 8 + 1 8 + x y 8 - x 8 - y 8 + 1 8

P 2 x , y = x 2 + y 2 - x 2 8 - y 2 8 + x y 4

Passo 5

Vamos agora achar o valor do polinômio no ponto 1.2,0.9

P 2 1.2,0.9 = 1,2 2 + 0,9 2 - 1,2 2 8 - 0,9 2 8 + 1,2   .     0,9 4 = 1,03875

Resposta

P 2 x , y = x 2 + y 2 - x 2 8 - y 2 8 + x y 4

P 2 1.2,0.9 = 1,03875

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