Exercícios Resolvidos de Primeira Lei para Processos

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Enunciado

Uma certa quantidade de vapor de água saturado a 200   ° C é condensada isotermicamente para líquido saturado em um arranjo pistão-cilindro.

Calcule a transferência de calor e o trabalho realizado durante esse processo, em k J / k g . Use a tabela de propriedades termodinâmicas abaixo.

Passo 1

O exercício diz que um sistema passa por um processo com troca de calor e trabalho. O sistema é formado inicialmente por vapor d’água a 200   ° C (estado 1). Depois de trocar calor e trabalho, o sistema vira líquido saturado (estado 2). A figura abaixo mostra o sistema antes e depois do processo.

A figura mostra que conforme o vapor vai perdendo calor e condensando, o pistão vai descendo. Isso significa que o volume do sistema vai diminuindo, porque a sua fronteira vai descendo junto com o pistão. Ou seja, além do pistão trocar calor, a vizinhança realiza trabalho sobre ele. E não é qualquer tipo de trabalho! É um trabalho de movimento de fronteira W .

W = ∫ 1 2 P ⋅ d V

Mas como podemos resolver essa integral para calcular o trabalho?

Lembrando que durante uma condensação isotérmica a pressão também não muda!

Ou seja, além do processo manter a temperatura constante, ele também mantém a pressão constante. Isso é mostrado na figura abaixo, comparando a pressão do estado condensado B com a pressão do estado vaporizado D. A pressão B é igual à pressão D. Isso fica mais claro quando a gente olha para o gráfico P - v .

P 2 = P 1 = P

Por causa disso a fórmula do trabalho vira:

W = P ⋅ V 2 - V 1

onde:

  • V 1 é o volume inicial do sistema;
  • V 2 é o volume final do sistema;
  • P é a pressão do sistema. Ela é constante durante todo o processo.

E como conseguimos achar essas três propriedades?

Vamos por partes! Primeiro vamos começar pela pressão P . Ela é encontrada através da tabela de saturação da água. Ela é a pressão de saturação da água para a temperatura de 200   ° C .

Para encontrar os volumes, temos que lembrar que eles dependem da massa m do sistema:

V 1 = m ⋅ v 1

V 2 = m ⋅ v 2

onde:

  • v 1 é o volume específico do vapor saturado de água v v a 200   ° C . Ele é encontrado na tabela de saturação;
  • v 2 é o volume específico da água líquida saturada v l a 200   ° C . Ele também é encontrado na tabela de saturação.

E a massa do sistema m ? Como achamos?

Nós não precisamos dela!

O exercício pede para encontrarmos o trabalho em k J / k g , porque ele não pede W , mas sim W dividido por m .

W = P ⋅ m ⋅ v 2 - m ⋅ v 1       ⟹       W = P ⋅ m ⋅ v 2 - v 1       ⟹       W m = P ⋅ v 2 - v 1

Olhando para a equação de cima, descobrimos que já temos todas as informações que precisamos para achar o resultado pedido.

Mas e a troca de calor dividida pela massa Q / m ? Como podemos calculá-la?

Isso fica para o próximo passo!

Passo 2

Para calcular Q / m teremos que usar a primeira lei da termodinâmica.

Q - W = E 2 - E 1

Nós já sabemos como calcular o trabalho, mas como a gente pode calcular a variação de energia total E 2 - E 2 , se a tabela de propiedades só tem valores de energia interna específica u ?

A primeira etapa para a gente saber como calcular a variação de E é olhar para a equação de energia total.

E = m ⋅ ν 2 2 ⏟ e n e r g i a   c i n é t i c a + m ⋅ g ⋅ Z ⏟ e n e r g i a   p o t e n c i a l   g r a v i t a c i o n a l + m ⋅ u ⏟ e n e r g i a   i n t e r n a

onde:

  • m é a massa do sistema;
  • u é a energia interna específica. Ela é encontrada através da tabela de propriedades;
  • ν é a velocidade do sistema;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • Z é a altura do sistema.

Nós vemos que a energia total E é formada por três tipos de energia: energia cinética, energia potencial gravitacional e energia interna. A energia cinética depende da velocidade do sistema ν e a energia potencial depende da altura do sistema Z . Como podemos calcular esses dois tipos de energia se não conhecemos ν nem Z ?

Na verdade, nós não precisamos calcular esses dois tipos de energia! O enunciado não fala que o sistema varia de velocidade ou de altura. Isso significa que essas duas variáveis não mudam de valor. Ou seja, a única parte da energia total E que varia é a energia interna U ! Vamos verificar a variação de energia total do sistema depois dele passar pelo processo.

E 2 - E 1 = m ⋅ ν 2 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 + m ⋅ u 2 - m ⋅ ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 1 + m ⋅ u 1

No entanto:

ν 2 = ν 1

Z 2 = Z 1

Por causa disso, as variações de energia cinética e energia potencial gravitacional se anulam e a variação de energia total fica igual à variação de energia interna:

E 2 - E 1 = m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1

Por outro lado:

Q - W = E 2 - E 1

Igualando essas duas últimas equações, achamos que:

Q - W = m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1       ⟹       Q - W = m ⋅ u 2 - u 1       ⟹       Q m - W m = u 2 - u 1      

A energia interna específica u 2 é a energia interna específica do líquido saturado u l a 200   ° C . Já a energia interna específica u 1 é a energia interna específica do vapor saturado u v a 200   ° C .

Isso quer dizer que temos todas as informações para calcular Q / m .

Q m = W m + u 2 - u 1

Agora vamos substituir todas as informações do enunciado nas equações que descobrimos.

Passo 3

Vamos começar pelos cálculos de W / m através da fórmula abaixo.

W m = P ⋅ v 2 - v 1

Olhando a tabela de saturação, somos capazes de encontrar esses três valores!

P = 1553,8   k P a

v 2 = 0,001156   m 3 k g

v 1 = 0,12736   m 3 k g

Com esses três valores somos capazes de calcular o trabalho por unidade de massa. Mas atenção! A questão pede que esse valor esteja em quilojoule por quilograma k J / k g ! Então aqui vai uma dica de como calcular o trabalho na unidade certa.

Para que a unidade do trabalho seja quilojoule k J , a pressão deve estar em quilopascal k P a e o volume específico em metro cúbico por quilograma m 3 / k g !

Para que a unidade do trabalho seja o joule J , a pressão deve estar em pascal P a e o volume específico em metro cúbico por quilograma m 3 / k g !

W m = 1553,8 ⋅ 0,001156 - 0,12736       ⟹       W m = - 196,10   k J k g

Vamos deixar o cálculo de Q / m para o próximo passo!

Passo 4

Q / m é calculado pela equação abaixo.

Q m = W m + u 2 - u 1

Olhando a tabela de saturação, somos capazes de encontrar os valores de energia interna específica!

u 2 = 850,64   k J k g

u 1 = 2595,29   k J k g

Substituindo esses números na equação de cima, achamos:

Q m = W m + u 2 - u 1       ⟹       Q m = - 196,10 + 850,64 - 2595,29       ⟹       Q m = - 1940 , 75   k J k g

Pronto! Calculamos a transferência de calor e o trabalho realizado durante esse processo de condensação!

Resposta

W m = - 196,10   k J k g

Q m = - 1940 , 75   k J k g

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