Exercícios Resolvidos de Primeira Lei para Processos

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Enunciado

Um conjunto cilindro-pistão, que apresenta esbarro, contém 50   k g de água. Inicialmente, o volume e a pressão na água são iguais a 0,1   m 3 e 200   k P a . Quando o pistão encosta no esbarro, o volume da câmara se torna igual a 0,5   m 3 . Transfere-se calor ao sistema até que o pistão toque o esbarro. Determine o calor transferido nesse processo.

Passo 1

O exercício fala sobre 50   k g de água que passa por um processo de aquecimento. Conforme a água vai sendo aquecida, o seu volume vai aumentando. Ou seja, conforme a água vai ganhando energia por calor, o pistão vai levantando lentamente. Quando o pistão toca em um obstáculo chamado de esbarro, o aquecimento para e a água fica com 0,5   m 3 de volume.

A água inicia o processo no estado 1 com 0,1   m 3 de volume e 50   k g e termina o processo no estado 2 com 0,5   m 3 de volume e os mesmos 50   k g de massa. Como nós sabemos os volumes e as massas dos estados 1 e 2, nós já podemos calcular os valores dos volumes específicos da água para os estados 1 e 2!

v 1 = V 1 m

v 2 = V 2 m

V 1 = 0,1   m 3

V 2 = 0,5   m 3

m = 50   k g

Além disso, como a água aumenta de volume, a sua fronteira se move. Isso quer dizer que a água realiza trabalho de movimento de fronteira sobre a sua vizinhança. Em outras palavras, enquanto a água ganha energia por calor, ela perde energia por trabalho. E não é qualquer tipo de trabalho! É um trabalho de movimento de fronteira W .

W = ∫ 1 2 P ⋅ d V

Mas como podemos resolver essa integral para calcular o trabalho? Descobrindo uma informação que está escondida no enunciado! Como a água está apoiando o mesmo pistão durante todo o processo, ela está sendo comprimida pelo mesmo peso durante todo o processo. Issosignifica que a pressão sobre ela não muda. Dizendo isso de outro jeito:

P 2 = P 1 = P = c o n s t a n t e

O enunciado diz quanto vale a pressão P .

P = 200   k P a

Substituindo essa informação na fórmula de trabalho ela muda para:

W = P ⋅ V 2 - V 1

Saber isso é muito importante! Para calcular a quantidade de calor Q que a água ganha, nós vamos ter que usar a primeira lei da termodinâmica! Para usar a primeira lei, nós temos que saber quanto vale o trabalho.

Q - W = m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1       ⟹       Q = W + m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1

Vemos pela equação, que temos que conhecer o trabalho! Mas além disso, também precisamos saber quanto valem as energias internas específicas da água ( u 1 e u 2 ). Para saber quanto valem as energia internas específicas, nós temos que determinar o estado 1 e o estado 2. Para determinar um estado, nós precisamos conhecer duas propriedades intensivas!

Nós sabemos a pressão do estado 1 P 1 e o volume específico do estado 1 v 1 . Como conhecemos duas propriedades intensivas desse estado, ele está determinado. O mesmo ocorre com o estado 2. Nós sabemos a pressão do estado 2 P 2 e o volume específico do estado 2 v 2 ! Isso quer dizer que para achar ( u 1 e u 2 ) só falta usar a tabela de propriedades!

Mas para usar a tabela de propriedades, nós temos que saber qual é a fase da água primeiro! É isso que aprenderemos a fazer no próximo passo.

Passo 2

Para saber quanto valem u 1 e u 2 , precisamos descobrir qual é a fase da água nos estados 1 e 2! Para conseguir descobrir, precisamos comparar os volumes específicos da água ( v 1 e v 2 ) com os volumes específicos informados pela tabela v l   e   v v para 200   k P a de pressão.

Onde:

  • v l é o volume específico do líquido saturado a 200   k P a ;
  • v v é o volume específico do vapor saturado a 200   k P a .

Se volume específico v 2 for maior que volume específico do vapor saturado a 200   k P a v v , então a água é um vapor superaquecido no estado 2.

S e   v 2 > v v 2   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

Da mesma forma, se volume específico v 1 for maior que volume específico do vapor saturado a 200   k P a v v , então a água é um vapor superaquecido no estado 1.

S e   v 1 > v v   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

Se v 2 for menor que volume específico do líquido saturado a 200   k P a v l , a água é um líquido comprimido no estado 2.

S e   v 2 < v l 2   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

Se v 1 for menor que volume específico do líquido saturado a 200   k P a v l , a água é um líquido comprimido no estado 1.

S e   v 1 < v l   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

Por fim, se o valor de v 2 estiver entre v l e v v , a água está saturada no estado 2.

S e   v l ≤ v 2 ≤ v v   ⟹   S a t u r a ç ã o

Por fim, se o valor de v 1 estiver entre v l e v v , a água está saturada no estado 1.

S e   v l ≤ v 1 ≤ v v   ⟹   S a t u r a ç ã o

Se a água for saturada, descobrimos sua energia interna específica olhando para a tabela de saturação. Se a água for vapor superaquecido, descobrimos sua energia interna específica olhando para a tabela de vapor superaquecido. Se a água for líquido comprimido, descobrimos sua energia interna específica olhando para a tabela de líquido comprimido.

Se a água for uma mistura saturada no estado 2, a fórmula de energia interna específica u 2 é:

u 2 = u l ⋅ 1 - x 2 + u v ⋅ x 2

onde:

  • u l é a energia interna específica da parte líquida da mistura a 200   k P a . Ela é o u l da tabela de saturação para 200   k P a de pressão;
  • u v é a energia interna específica do vapor da mistura a 200   k P a . Ela é o u v da tabela de saturação para 200   k P a de pressão.
  • x 2 é o título da mistura do estado 2.

A equação para calcular u 1 , caso a água do estado 1 seja saturada, é muito parecida!

u 1 = u l ⋅ 1 - x 1 + u v ⋅ x 1

Onde x 1 é o título da água do estado 1.

Podemos calcular x 1 e x 2 com as equações abaixo.

x 2 = v 2 - v l v v - v l

x 1 = v 1 - v l v v - v l

Com isso acabamos tudo o que precisávamos entender para calcular o calor trocado Q . Vamos começar as contas na etapa seguinte!

Passo 3

Começando as contas, encontrando os volumes específicos v 1 e v 2 .

v 1 = V 1 m       ⟹       v 1 = 0,1 50       ⟹       v 1 = 0,002   m 3 k g

v 2 = V 2 m       ⟹       v 2 = 0,5 50       ⟹       v 2 = 0,01   m 3 k g

Para comparar esses valores de volume específico e descobrir a fase da água, precisamos conhecer v l e v v . Eles são obtidos através da tabela de saturação da água para a pressão de 200   k P a .

v l = 0,001061   m 3 k g

v v = 0,88573   m 3 k g

Como os dois volumes específicos v 1 e v 2 estão entre v l e v v , a água está saturada no estado 1 e no estado 2. Ou seja, para achar as energias internas específicas u 1 e u 2 , nós temos que achar os títulos x 1 e x 2 .

x 2 = v 2 - v l v v - v l       ⟹       x 2 = 0,01 - 0,001061 0,88573 - 0,001061       ⟹       x 2 = 0,0101

x 1 = v 1 - v l v v - v l       ⟹       x 1 = 0,002 - 0,001061 0,88573 - 0,001061       ⟹       x 1 = 0,0011

Para calcular u 1 e u 2 temos que achar u l e u v na tabela de saturação. Isso será feito na próxima etapa!

Passo 4

u l = 504,47   k J k g

u v = 2529,49   k J k g

Substituindo esses valores nas equações, encontramos:

u 2 = u l ⋅ 1 - x 2 + u v ⋅ x 2

u 2 = 504,47 ⋅ 1 - 0,0101 + 2529,49 ⋅ 0,0101

u 2 = 524,92   k J k g

u 1 = u l ⋅ 1 - x 1 + u v ⋅ x 1

u 1 = 504,47 ⋅ 1 - 0,0011 + 2529,49 ⋅ 0,0011

u 1 = 506,70   k J k g

Para usar a equação da primeira lei só falta achar o trabalho W ! Essa tarefa vai ficar pro passo seguinte!

Passo 5

W = P ⋅ V 2 - V 1

W = 200 ⋅ 0,5 - 0,1

W = 80   k J

Sabendo disso, podemos enfim substituir os valores na equação da primeira lei.

Q = W + m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1

Q = 80 + 50 ⋅ 524,92 - 50 ⋅ 506,70

Q = 991   k J

Esse é o resultado final!

Resposta

Q = 991   k J

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