Exercícios Resolvidos de Primeira Lei para Processos

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Enunciado

A figura abaixo mostra um tanque que está dividido em duas regiões por meio de uma membrana. A região A apresenta V A = 1   m 3 e contém água a 200   k P a e com v A = 0,5   m 3 / k g . A região B contém 3,5   k g de água a 400   ° C e 0,5   M P a . A membrana é, então, rompida e espera-se que seja estabelecido o equilíbrio. Sabendo que a temperatura final do processo é 100   ° C , determine a transferência de calor que ocorre durante o processo.

Passo 1

O enunciado fala sobre um tanque cheio de água que passa por um processo de troca de calor com o ambiente. Antes de trocar calor (estado 1), o tanque está dividido em duas partes: parte A e parte B. Assim que a membrana que separa as duas partes é rompida, a troca de calor começa. A água que estava na parte A se mistura com a água que estava na parte B (estado 2).

A questão quer saber quanto vale essa troca de calor Q . Para calcular isso, precisamos usar a primeira lei da termodinâmica.

Q - W = U 2 - U 1       ⟹       Q = W + U 2 - U 1

Precisamos de W , U 2 e U 1 para achar Q . Vamos começar pelo trabalho W !

Quando a membrana se rompe, a água que estava na parte A se expande para a parte B e a água que estava na parte B se expande para a parte A. Essas duas expansões são consideradas trabalho de movimento de fronteira?

Essa expansão não é trabalho! Ela é expansão não resistida! Mas se a água que estava presa em uma das partes aumenta o seu volume, por que não consideramos que ela realiza trabalho?

Porque para ser trabalho, ela deveria empurrar a outra parte de água com uma força! Mas na verdade ela se mistura com a outra, ao invés de empurrar a outra parte.

Isso quer dizer que o processo de expansão não tem trabalho.

W = 0   J

Agora, para calcular Q só falta encontrar as energias internas U 1 e U 2 .

O estado 1 da água está dividido em parte A e parte B. Isso significa que a energia interna total desse estado U 1 é a soma da energia interna de cada parte ( U A e U B ).

U 1 = U A + U B

Para calcular a energia interna de cada parte, devemos nos lembrar da equação de energia interna.

U A = m A ⋅ u A

U B = m B ⋅ u B

onde:

  • u A é a energia interna específica da parte A no estado 1;
  • u B é a energia interna específica da parte B no estado 1;
  • m A é a massa de água da parte A no estado 1;
  • m B é a massa de água da parte B no estado 1.

Entenderemos como calcular cada uma dessas quatro variáveis na próxima etapa.

Passo 2

Para calcular m A , precisamos reorganizar a equação de volume específico v A .

v A = V A m A       ⟹       m A = V A v A

O enunciado já fornece diretamente V A e v A .

V A = 1   m 3

v A = 0,5   m 3 k g

Como o enunciado informa a pressão P A e o volume específico v A da parte A no estado 1, o estado da parte A já está definido. Isso quer dizer que para achar u A , só temos que descobrir a fase da parte A e depois pegar u A na tabela de propriedades.

P A = 200   k P a

Para conseguir descobrir a fase, precisamos comparar o volume específico da água v A com os volumes específicos informados pela tabela v l A   e   v v A para 200   k P a de pressão.

Onde:

  • v l A é o volume específico do líquido saturado a 200   k P a de pressão;
  • v v A é o volume específico do vapor saturado a 200   k P a de pressão.
  • Se volume específico v A for maior que volume específico do vapor saturado a 200   k P a de pressão v v A , então a água é um vapor superaquecido.

    S e   v A > v v A   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

    Se v A for menor que volume específico do líquido saturado a 200   k P a de pressão v l A , a água é um líquido comprimido.

    S e   v A < v l A   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

    Por fim, se o valor de v A estiver entre v l A e v v A , a água está saturada.

    S e   v l A ≤ v A ≤ v v A   ⟹   S a t u r a ç ã o

    Se a água da parte A estiver saturada, vamos precisar conhecer o seu título x A para calcular u A .

    x A = v A - v l A v v A - v l A

    Depois, usamos esse valor na fórmula de u A .

    u A = u l A ⋅ 1 - x A + u v A ⋅ x A

    onde:

    • u l A é a energia interna específica da parte líquida da mistura a 200   k P a de pressão. Ela é o u l da tabela de saturação para 200   k P a de pressão;
    • u v A é a energia interna específica do vapor da mistura a 200   k P a de pressão. Ela é o u v da tabela de saturação para 200   k P a de pressão.
    • O enunciado informa diretamente a temperatura T B e a pressão P B da parte B.

      T B = 400   ° C

      P B = 0,5   M P a

      Com essas duas propriedades intensivas, o estado 1 da parte B está definido! Isso significa que para encontrar u B só precisamos descobrir sua fase e depois achar a energia interna específica na tabela.

      Para descobrir a fase da parte B, comparamos a temperatura T B com a temperatura de saturação da parte B T S A T B para 0,5   M P a de pressão!

      Se T B for maior que T S A T B , então a água da parte B é vapor superaquecido.

      S e   T B > T S A T B   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

      Se T B for menor que T S A T B , então a água da parte B é líquido comprimido.

      S e   T B < T S A T B   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

      Se T B for igual a T S A T B , então a água da parte B está saturada.

      S e   T B = T S A T B   ⟹   S a t u r a ç ã o

      Se a parte B for saturada, pegamos a energia interna específica u B pela tabela de saturação. Se a parte B for vapor superaquecido, pegamos a energia interna específica u B pela tabela de vapor superaquecido. Se a parte B for líquido comprimido, pegamos a energia interna específica u B pela tabela de líquido comprimido.

      A massa m B da parte B é informada diretamente pelo enunciado.

      m B = 3,5   k g

      No próximo passo, vamos aprender a calcular a energia interna U 2 para conseguir achar Q .

      Passo 3

      A equação da energia interna final da água U 2 é:

      U 2 = u 2 ⋅ m 2

      Como a massa de água no tanque não muda com a troca de calor, o valor de m 2 é igual à soma das massas da parte A m A e da parte B m B .

      m 2 = m A + m B

      A primeira etapa para achar u 2 é definir o estado 2. Para isso, precisamos do valor de duas propriedades intensivas desse estado. O enunciado já informa a temperatura desse estado T 2 .

      T 2 = 100   ° C

      Resta saber o valor de outra propriedade intensiva. Para conseguir isso, temos que lembrar que o volume total do tanque não muda. Ou seja, o volume do tanque depois de troca de calor V 2 é igual a soma dos volumes das partes A e B antes da troca de calor.

      V 2 = V A + V B

      O volume da parte B é calculado, reorganizando a equação do volume específico v B .

      v B = V B m B       ⟹       V B = m B ⋅ v B

      O volume específico v B é obtido pela tabela de propriedades.

      A partir desse valor de volume V 2 , podemos calcular a propriedade intensiva v 2 e definir o estado 2.

      v 2 = V 2 m 2

      A etapa final para achar u 2 é descobrir a fase da água no estado 2.

      Para conseguir descobrir a fase, precisamos comparar o volume específico da água v 2 com os volumes específicos informados pela tabela v l 2   e   v v 2 para 100   ° C de temperatura.

      Onde:

    • v l 2 é o volume específico do líquido saturado a 100   ° C de temperatura;
    • v v 2 é o volume específico do vapor saturado a 100   ° C de temperatura.

    Se volume específico v 2 for maior que volume específico do vapor saturado a 100   ° C de temperatura v v 2 , então a água é um vapor superaquecido.

    S e   v 2 > v v 2   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

    Se v 2 for menor que volume específico do líquido saturado a 100   ° C de temperatura v l 2 , a água é um líquido comprimido.

    S e   v 2 < v l 2   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

    Por fim, se o valor de v 2 estiver entre v l 2 e v v 2 , a água está saturada.

    S e   v l 2 ≤ v 2 ≤ v v 2   ⟹   S a t u r a ç ã o

    Se a água do estado 2 estiver saturada, vamos precisar conhecer o seu título x 2 para calcular u 2 .

    x 2 = v 2 - v l 2 v v 2 - v l 2

    Depois, usamos esse valor na fórmula de u 2 .

    u 2 = u l 2 ⋅ 1 - x 2 + u v 2 ⋅ x 2

    onde:

  • u l 2 é a energia interna específica da parte líquida da mistura a 100   ° C de temperatura. Ela é o u l da tabela de saturação para 100   ° C de temperatura;
  • u v 2 é a energia interna específica do vapor da mistura a 100   ° C de temperatura. Ela é o u v da tabela de saturação para 100   ° C de temperatura.

Com todas essas informações, podemos calcular Q através da primeira lei da termodinâmica. Mas vamos deixar essa etapa para o passo seguinte!

Passo 3

Iniciamos os cálculos descobrindo quanto vale a massa de água que está inicialmente na parte A.

m A = V A v A       ⟹       m A = 1 0,5       ⟹       m A = 2   k g

Para achar a fase da parte A, temos que comparar v A com v l A e v v A . Esses dois volumes específicos são encontrados na tabela de saturação da água.

v l A = 0,001061   m 3 k g

v v A = 0,88573   m 3 k g

Como v A é 0,5   m 3 / k g , seu valor está entre v l A e v v A . Isso quer dizer que a água da parte A está saturada. Sabendo disso, temos que descobrir o título x A para calcular u A .

x A = v A - v l A v v A - v l A       ⟹       x A = 0,5 - 0,001061 0,88573 - 0,001061       ⟹       x A = 0,5640

Também precisamos dos valores de u l A e u v A para cacular u A . Essas duas energias intenas específicas são encontradas na tabela de saturação da água.

u l A = 504,47   k J k g

u v A = 2529,49   k J k g

Substituindo esses valores na fórmula de u A , achamos que:

u A = u l A ⋅ 1 - x A + u v A ⋅ x A

u A = 504,47 ⋅ 1 - 0,5640 + 2529,49 ⋅ 0,5640

u A = 1646,58   k J k g

Já que temos a massa e a energia interna específica da parte A, podemos achar sua energia interna U A .

U A = m A ⋅ u A       ⟹       U A = 2 ⋅ 1646,58       ⟹       U A = 3293,16   k J

Para achar a energia interna do estado 1, só falta saber quanto vale a energia interna específica da parte B. Para isso, descobrimos a fase da parte B, comparando a temperatura T B 400   ° C com a temperatura de saturação da parte B T S A T B para 0,5   M P a de pressão. Essa temperatura de saturação é obtida pela tabela do vapor superaquecido.

T S A T B = 151,86   ° C

Como a temperatura da parte B 400   ° C é maior que a temperatura de saturação 151,86   ° C , a água da parte B é um vapor superaquecido. Isso significa que a energia interna específica u B está na tabela de vapor superaquecido.

u B = 2963,2   k J k g

Agora podemos calcular a energia interna da parte B U B .

U B = m B ⋅ u B       ⟹       U B = 3,5 ⋅ 2963,19       ⟹       U B = 10371,165   k J

A energia interna total da água no estado 1 vale:

U 1 = U A + U B       ⟹       U 1 = 3293,16 + 10371,165         ⟹       U 1 = 13664,325   k J

O cálculo de U 2 ficará para o passo a seguir.

Passo 4

A massa do estado 2 vale:

m 2 = m A + m B       ⟹       m 2 = 2 + 3,5       ⟹       m 2 = 5,5   k g

Já o volume do estado 2 precisa do valor da parte B para ser encontrado.

V B = m B ⋅ v B       ⟹       V B = 3,5 ⋅ 0,61728       ⟹       V B = 2,16048   m 3

Sabendo disso:

V 2 = V A + V B       ⟹       V 2 = 1 + 2,16048       ⟹       V 2 = 3,16048   m 3

Com a massa e o volume do estado 2, somos capazes de achar o volume específico desse estado.

v 2 = V 2 m 2       ⟹       v 2 = 3,16048 5,5       ⟹       v 2 = 0,57463   m 3 k g

Com esse valor, achamos a fase da água no estado 2. Para descobrir isso, pegamos v l 2 e v v 2 na tabela de saturação.

v l 2 = 0,001044   m 3 k g

v v 2 = 1,6729   m 3 k g

Como v 2 é 0,57463   m 3 / k g , seu valor está entre v l 2 e v v 2 . Isso quer dizer que a água no estado 2 está saturada. Sabendo disso, temos que descobrir o título x 2 para calcular u 2 .

x 2 = v 2 - v l 2 v v 2 - v l 2       ⟹       x 2 = 0,57463 - 0,001044 1,6729 - 0,001044       ⟹       x 2 = 0,3431

Também precisamos dos valores de u l 2 e u v 2 para cacular u 2 . Essas duas energias intenas específicas são encontradas na tabela de saturação da água.

u l 2 = 418,91   k J k g

u v 2 = 2506,5   k J k g

Substituindo esses valores na fórmula de u 2 , achamos que:

u 2 = u l 2 ⋅ 1 - x 2 + u v 2 ⋅ x 2

u 2 = 418,91 ⋅ 1 - 0,3431 + 2506,5 ⋅ 0,3431

u 2 = 1135,16   k J k g

A energia interna do estado 2 é:

U 2 = m 2 ⋅ u 2     ⟹       U 2 = 5,5 ⋅ 1135,16       ⟹       U 2 = 6243,38   k J

Com esse valor nós finalmente somos capazes de calcular o calor trocado Q no passo seguinte!

Passo 5

Substituindo todos os valores que encontramos na primeira lei da termodinâmica, achamos:

Q = W + U 2 - U 1       ⟹       Q = 0 + 6243,38 - 13664,325       ⟹       Q = - 7420,945   k J

Esse é o resultado final!

Resposta

Q = - 7420,945   k J

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