Uma esfera com de diâmetro cuja superfície é mantida à temperatura de é suspensa no meio de uma sala a por . Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção é de e a emissividade da superfície corresponde , determine a perda de calor total da esfera.
Passo 1
Fala, pessoal! O enunciado pede para a gente calcular o calor que a superfície de uma esfera perde de duas formas. Uma parte de , que chamaremos de , é perdida por convecção. A outra parte de é perdida por radiação.
e são calculadas, multiplicando a taxa de perda de calor por convecção e a taxa de perda de calor por radiação pelo quantidade de tempo durante a qual a esfera troca com o ambiente.
A taxa de calor perdida é encontrada através da lei de resfriamento de Newton abaixo.
onde é o coeficiente de transferência de calor por convecção de , é a área da superfície esférica com diâmetro de , é a temperatura da superfície que vale e é a temperatura do ar a .
é calculada abaixo:
Essa fórmula mostra que, pra gente calcular a taxa de calor perdida por radiação, temos que calcular a quantidade que a superfície perde por emitir radiação menos a quantidade que ela ganha por absorver radiação das superfícies ao redor! Essas duas taxas são calculadas através da lei de Stefan-Boltzmann. A figura abaixo mostra melhor o problema.
Com essas informações, vamos iniciar as contas no passo seguinte!
Passo 2
Vamos iniciar as contas, calculando a taxa de calor que a superfície perde por convecção.
Fazemos isso, substituindo os dados que temos na fórmula de do passo 1.
No entanto, antes precisamos calcular a área da superfície esférica através da equação abaixo.
Agora sim podemos substituir os dados.
Agora, multiplicamos por pra achar . Antes, temos que converter a unidade da quantidade de tempo que o ar da sala e a esfera trocam calor de horas pra segundos. Fazemos isso, multiplicando por .
No próximo passo calcularemos e !
Passo 3
Pra calcular a parcela de taxa de calor que a superfície perde por radiação, temos que achar a taxa que ela emite por radiação. A equação abaixo calcula esse valor.
onde é a constante de Stefan-Boltzmann que vale sempre e é a emissividade da superfície. O enunciado informou que o valor dessa emissividade vale ! Para achar só falta converter a temperatura de pra , somando com .
Substiuindo os dados na fórmula de :
Para calcular a taxa de calor por radiação que o corpo esférico absorve, temos que saber que um corpo com emissividade de absorve das radiações que chegam até ele por todos os lados. Logo, da radiação emitida pela vizinhança a é absorvida pela esfera.
Com esse valores, somos capazes de achar e no próximo passo!
Passo 4
Substituindo e na equação de :
Multiplicando essa taxa de calor perdida por radiação por , encontramos .
Agora é só somar e pra achar .
Fechamos o exercício, pessoal! Parabéns pra nós!