Passo 1

Aqui, o problema já cuida da parte computacional pra gente. Temos o sistema:

X ' = A X

E ele nos deu os autovalores e autovetores de A. Lembramos que a solução de um sistema desse tipo é:

u e λ t

Onde u é um autovetor de A e λ seu autovalor associado.

Passo 2

Autovalor real:

A solução associada é:

X 1 t = e 3 t ( 0,0 , 1 )

Autovalores complexos:

Lembrando da decomposição dos autovalores e autovetores:

u = v + i w

λ = α + i β

Teremos:

α = 3

β = 1

v = 1,0 , 0

w = ( 0,1 , 0 )

Logo:

X 2 t = v   c o s β t - w sin ⁡ β t e α t = e 3 t ( cos ⁡ t , - sin ⁡ t , 0 )

X 3 t = ( v sin ⁡ β t   + w cos ⁡ β t ) e α t   = e 3 t ( sin ⁡ t , cos ⁡ t , 0 )

Por fIm:

X t = c 1 X 1 t + c 2 X 2 t + c 3 X 3 ( t )

X t = e 3 t ( c 2 cos ⁡ t + c 3 sin ⁡ t , c 3 cos ⁡ t - c 2 sin ⁡ t , c 1 )

Resposta

e X t = e 3 t c 2 cos ⁡ t + c 3 sin ⁡ t , - c 2 sin ⁡ t + c 3 cos ⁡ t , c 1 ,   c 1 , c 2 , c 3 ∈ R

Exercícios Resolvidos de S.E.D.O.L's

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