Exercícios Resolvidos de S.E.D.O.L's

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Enunciado

Determine a solução geral da equação:

X ' = 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 - 1 X

Passo 1

Já sabemos que o primeiro passo pra achar a solução geral é encontrar os autovalores e autovetores da nossa matriz A, que no caso é:

A = 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 - 1

Pra encontrar autovalores, fazemos:

det ⁡ A - λ I = 0

1 - λ - 1 4 3 2 - λ - 1 2 1 - 1 - λ = 0

1 - λ 2 - λ - 1 - λ - 4 1 - λ = 0

1 - λ 2 - λ - 1 - λ - 4 = 0

Então temos:

1 - λ = 0 ⇒ λ 1 = 1

Ou então:

2 - λ - 1 - λ - 4 = 0

- 2 - 2 λ + λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 - λ - 6 = 0

λ 2 = 3

λ 3 = - 2

Passo 2

Agora pra cada autovalor vamos resolver o sisteminha:

A - λ I v = 0

pra poder achar os autovetores v.

Pra λ 1 = 1 :

0 - 1 4 3 1 - 1 2 1 - 2 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:

1 0 1 0 1 - 4 0 0 0 x y z = 0 0 0

Pela segunda linha:

y - 4 z = 0 ⇒ y = 4 z

Pela primeira linha:

x + z = 0 ⇒ x = - z

Então os autovetores associados ao autovalor 1 são:

x , y , z = - z , 4 z , z = z - 1 , 4 , 1

Em particular, temos o autovetor:

v 1 = ( - 1 , 4 , 1 )

Pra λ 2 = 3 :

- 2 - 1 4 3 - 1 - 1 2 1 - 4 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:

- 2 - 1 4 0 - 5 2 5 0 0 0 x y z = 0 0 0

Pela segunda linha:

- 5 2 y + 5 z = 0 ⇒ y = 2 z

Pela primeira linha:

- 2 x - y + 4 z = 0

- 2 x - 2 z + 4 z = 0

∴ x = z

Então os autovetores associados ao autovalor 3 são:

x , y , z = z , 2 z , z = z 1 , 2 , 1

Em particular, temos o autovetor:

v 2 = ( 1 , 2 , 1 )

Por último, pra λ 3 = - 2 :

3 - 1 4 3 4 - 1 2 1 1 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:

3 - 1 4 0 5 - 5 0 0 0 x y z = 0 0 0

Pela segunda linha:

5 y - 5 z = 0 ⇒ y = z

Pela primeira linha:

3 x - y + 4 z = 0

3 x - z + 4 z = 0

∴ x = - z

Então os autovetores associados ao autovalor -2 são:

x , y , z = - z , z , z = z - 1 , 1 , 1

Em particular, temos o autovetor:

v 3 = ( - 1,1 , 1 )

Passo 3

Ufa, pronto!

Agora é só montar as soluções.

Sabemos que elas são da forma:

X = C e λ t v

Então para os autovalores e autovetores encontrados, temos:

X 1 = C 1 e t - 1,4 , 1

X 2 = C 2 e 3 t 1,2 , 1

X 3 = C 3 e - 2 t ( - 1,1 , 1 )

Mas repara que a questão pediu a solução geral.

Então basta somar todo mundo!

X = C 1 e t - 1,4 , 1 + C 2 e 3 t 1,2 , 1 + C 3 e - 2 t ( - 1,1 , 1 )

Resposta

X = C 1 e t - 1,4 , 1 + C 2 e 3 t 1,2 , 1 + C 3 e - 2 t ( - 1,1 , 1 )

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