Determine a solução geral da equação:
Passo 1
Já sabemos que o primeiro passo pra achar a solução geral é encontrar os autovalores e autovetores da nossa matriz A, que no caso é:
Pra encontrar autovalores, fazemos:
Então temos:
Ou então:
Passo 2
Agora pra cada autovalor vamos resolver o sisteminha:
pra poder achar os autovetores v.
Pra
Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:
Pela segunda linha:
Pela primeira linha:
Então os autovetores associados ao autovalor 1 são:
Em particular, temos o autovetor:
Pra
Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:
Pela segunda linha:
Pela primeira linha:
Então os autovetores associados ao autovalor 3 são:
Em particular, temos o autovetor:
Por último, pra
Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:
Pela segunda linha:
Pela primeira linha:
Então os autovetores associados ao autovalor -2 são:
Em particular, temos o autovetor:
Passo 3
Ufa, pronto!
Agora é só montar as soluções.
Sabemos que elas são da forma:
Então para os autovalores e autovetores encontrados, temos:
Mas repara que a questão pediu a solução geral.
Então basta somar todo mundo!