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Exercícios Resolvidos de S.E.D.O.L's

Ver Teoria
Exercício 6123457

Enunciado

USP, Sem Campus, Álgebra Linear 2, P3 - 2017, Questão 6

Seja A   ∈   M 3 ( R ) uma matriz real simétrica cujo polinômio característico seja dado por:

p ( t )   =   - ( t   -   55 ) ( t   -   66 ) ( t   -   77 ) .

Suponha que

K e r ( T   -   55 I )   =   [ ( 1 ,   1 ,   1 ) ]   e   K e r ( T   -   66 I )   =   [ ( - 2 ,   1 ,   1 ) ] ,

em que T   :   R 3   →   R 3 denota o operador linear que é representado por A na base canônica de R 3

Assinale a alternativa correspondente a uma solução do sistema de equações diferenciais

X ' ( t )   =   A X ( t )

  1.   X ( t )   =   ( e 77 t ,   - e 77 t ,   0 ) ;
  2.   X ( t )   =   ( 0 ,   e 77 t ,   - e 77 t ) ;
  3. X ( t )   =   ( e 77 t ,   0 , - e 77 t ) ;
  4.   X ( t )   =   ( 0 ,   e 77 t ,   e 77 t ) ;
  5.   X ( t )   =   ( e 77 t ,   e 77 t , e 77 t )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez queremos encontrar uma possível solução do sistema de EDO

X ' ( t )   =   A X ( t )

Onde sabemos que

polinômio característico da matriz A é:

p ( t )   =   - ( t   -   55 ) ( t   -   66 ) ( t   -   77 ) .

Suponha que

K e r ( T   -   55 I )   =   [ ( 1 ,   1 ,   1 ) ]   e   K e r ( T   -   66 I )   =   [ ( - 2 ,   1 ,   1 ) ] ,

Agora, precisamos encontrar o terceiro autovalor de A . Como os autovalores são raízes do polinômio característico, então o terceiro autovalor será

77

E como encontramos o seu autovetor associado? Bem nós já temos os outros dois autovetores. E como os autovalores são distintos, então os autovetores serão perpendiculares. Logo o autovetor associado ao autovalor 77 é dado por

( 1 ,   1 ,   1 ) × ( - 2,1 , 1 ) = ( 0,1 , - 1 )

Passo 2

Agora que temos os autovalores e autovetores. Podemos calcular a solução do sistema de EDO. Bem, cada autovalor e autovetor associado gera uma possível solução para o sistema da forma

c i v i e a i t

onde c i ∈ R ,   a i é um autovalor e v i o autovetor associado ao autovalor a i . E a solução geral é a soma dessas soluções .Dessa forma, uma possível solução seria escolher o autovalor a = 77 e seu autovetor ( 0,1 , - 1 ) . Dessa forma, escolhendo c i = 1 uma solução seria

X ( t ) = ( 0,1 , - 1 ) . e 77 t

= ( 0 , e 77 t , - e 77 t ) .

valor presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma quest��o. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b)

Exercícios de Livros Relacionados

4. Tomemos três vetores no R 2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o ponto do triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?
3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;
2. Seja u o centróide dos vetores u 1 , u 2 , … , u p do R n . Calcular nos exemplos do exercício 1 a soma u - u 1 2 + … + u - u p 2 .
1. Resolva o sistema X^' (t) = A * X (t) , ondeA = ([[1,1],[0,2]]) E X (0) = (0,1) .