Determine a solução geral do sistema:
Passo 1
Já sabemos que o primeiro passo pra achar a solução geral é encontrar os autovalores e autovetores da nossa matriz A, que no caso é:
Pra encontrar autovalores, fazemos:
No caso, vamos ter:
Então temos que:
Ou então:
Passo 2
Agora pra cada autovalor vamos resolver o sisteminha:
pra poder achar os autovetores v.
Pra
Escalonando a matriz dos coeficientes e o vetor do lado direito:
Pela segunda linha:
Pela primeira linha:
Então os autovetores têm a seguinte cara:
Então fazendo (só pra termos números inteiros mesmo :D) vamos ter o autovetor:
Agora vamos pros autovalores complexos!
Mas não se assusta porque vamos continuar usando essa mesma ideia.
Pra
Pela primeira linha, conseguimos ver que:
Agora pela segunda linha:
Então nosso autovetor associado ao autovalor tem essa cara aqui:
Em particular, temos o autovetor:
Agora vamos pro último autovalor, que é
Pela primeira linha:
Pela terceira linha:
Então nossos autovetores são:
Então em particular um autovetor associado a esse autovalor é:
Passo 3
Ufa, pronto!!
Agora é só montar as soluções.
Sabemos que elas são da forma:
E isso independe de os autovalores e autovetores serem reais ou não, beleza??
Então para os autovalores e autovetores encontrados, temos:
Ah, mas queremos a solução geral!
Beleza, então basta somar todo mundo!!