Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Vamos lá, mais uma questão de sistemas de EDOs!
Agora queremos achar a solução de um PVI – ou seja, vamos ter uma solução única.
Mas antes de acha-la precisamos descobrir a solução geral do sistema e só então aplicar a condição inicial que foi dada no enunciado.
A gente sabe que as soluções de um sistema de EDOs são da forma:
Onde é autovalor e é o autovetor associado a ele.
Então vamos começar a achar os autovalores da matriz A, onde:
Pra achar autovalores, resolvemos:
Então:
Ou então temos:
Passo 2
Como temos três autovalores iguais a 1, vamos achar os autovetores associados a ele.
Pra isso, a gente resolve:
Pra
Escalonando esse sistema:
Então da segunda linha a gente tira que:
Da primeira linha:
Então os autovetores vão ser:
Um autovetor em particular é:
Opa, e é isso.
Pelo método que a gente viu, só conseguimos montar um autovetor e uma solução, que vai ser:
E agora, como vamos achar as duas soluções que faltam??
Passo 3
Bom, vimos na teoria que uma segunda solução é:
Onde é o vetor que descobrimos resolvendo o sistema:
Montando esse sisteminha pra nossa matriz A e nosso autovalor
Escalonando:
Da segunda equação, obtemos:
Substituindo na primeira:
Então a solução é:
Fazendo (por simplicidade):
E a segunda solução vai ser:
A gente viu também que uma terceira solução é:
Onde w é tirado do sistema:
Montando esse sistema e escalonando:
Pela segunda linha:
Substituindo na primeira:
Então a solução é:
Fazendo
Então a terceira solução que buscávamos é:
Passo 4
Achamos então 3 soluções:
Sabemos que podemos multiplicar cada uma dessas soluções que obtivemos no passo anterior e somar todo mundo pra obter uma solução geral.
Então ela vai ser:
Vamos calcular essa solução em
Mas o enunciado deu que:
Então:
Então ficamos com mais um sisteminha pra resolver!
Na terceira equação, já temos o valor de
Substituindo na primeira:
Substituindo esse valor de na segunda equação:
Então finalmente achamos a solução do PVI: