Exercícios Resolvidos de S.E.D.O.L's

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Enunciado

Resolva o seguinte problema de valor inicial:

X ' = - 1 1 2 - 1 1 1 - 2 1 3 X

X t = 0 = 1   0   1 T

Passo 1

Vamos lá, mais uma questão de sistemas de EDOs!

Agora queremos achar a solução de um PVI – ou seja, vamos ter uma solução única.

Mas antes de acha-la precisamos descobrir a solução geral do sistema e só então aplicar a condição inicial que foi dada no enunciado.

A gente sabe que as soluções de um sistema de EDOs são da forma:

X = C e λ t v

Onde λ é autovalor e v é o autovetor associado a ele.

Então vamos começar a achar os autovalores da matriz A, onde:

A = - 1 1 2 - 1 1 1 - 2 1 3

Pra achar autovalores, resolvemos:

det ⁡ A - λ I = 0

- 1 - λ 1 2 - 1 1 - λ 1 - 2 1 3 - λ = 0

- 1 - λ 1 - λ 3 - λ + 4 1 - λ = 0

1 - λ - 1 - λ 3 - λ + 4 = 0

Então:

1 - λ = 0 ⇒ λ 1 = 1

Ou então temos:

- 1 - λ 3 - λ + 4 = 0

λ 2 - 2 λ + 1 = 0

λ 2 = λ 3 = 1

Passo 2

Como temos três autovalores iguais a 1, vamos achar os autovetores associados a ele.

Pra isso, a gente resolve:

A - λ I v = 0

Pra λ = 1 :

- 2 1 2 - 1 0 1 - 2 1 2 x y z = 0 0 0

Escalonando esse sistema:

- 2 1 2 0 - 1 2 0 0 0 0 x y z = 0 0 0

Então da segunda linha a gente tira que:

y = 0

Da primeira linha:

- 2 x + 2 z = 0

∴ x = z

Então os autovetores vão ser:

x , y , z = x , 0 , x = x 1,0 , 1

Um autovetor em particular é:

v 1 = 1,0 , 1

Opa, e é isso.

Pelo método que a gente viu, só conseguimos montar um autovetor e uma solução, que vai ser:

X 1 = C 1 e t 1,0 , 1

E agora, como vamos achar as duas soluções que faltam??

Passo 3

Bom, vimos na teoria que uma segunda solução é:

X 2 = v t e λ t + u e λ t

Onde u é o vetor que descobrimos resolvendo o sistema:

A - λ I u = v

Montando esse sisteminha pra nossa matriz A e nosso autovalor λ :

- 2 1 2 - 1 0 1 - 2 1 2 x y z = 1 0 1

Escalonando:

- 2 1 2 0 - 1 2 0 0 0 0 x y z = 1 - 1 2 0

Da segunda equação, obtemos:

y = 1

Substituindo na primeira:

- 2 x + 1 + 2 z = 1

∴ x = z

Então a solução é:

u = x , y , z = x , 1 , x

Fazendo x = 0   (por simplicidade):

u = 0,1 , 0

E a segunda solução vai ser:

X 2 = ( 1,0 , 1 ) t e t + ( 0,1 , 0 ) e t

A gente viu também que uma terceira solução é:

X 3 = v t 2 e λ t + u t e λ t + w e λ t

Onde w é tirado do sistema:

A - λ I w = u

Montando esse sistema e escalonando:

- 2 1 2 - 1 0 1 - 2 1 2 x y z = 0 1 0

- 2 1 2 0 - 1 2 0 0 0 0 x y z = 0 1 0

Pela segunda linha:

- 1 2 y = 1 ⇒ y = - 2

Substituindo na primeira:

- 2 x + y + 2 z = 0

- 2 x - 2 + 2 z = 0

x - z + 1 = 0

x = z - 1

Então a solução é:

w = x , y , z = ( z - 1 , - 2 , z )

Fazendo z = 0 :

w = - 1 , - 2,0

Então a terceira solução que buscávamos é:

X 3 = 1,0 , 1 t 2 e t + 0,1 , 0 t e t + - 1 , - 2,0 e t

Passo 4

Achamos então 3 soluções:

X 1 = C 1 e t 1,0 , 1

X 2 = ( 1,0 , 1 ) t e t + ( 0,1 , 0 ) e t

X 3 = 1,0 , 1 t 2 e t + 0,1 , 0 t e t + - 1 , - 2,0 e t

Sabemos que podemos multiplicar cada uma dessas soluções que obtivemos no passo anterior e somar todo mundo pra obter uma solução geral.

Então ela vai ser:

X = C 1 e t 1,0 , 1 + C 2 1,0 , 1 t e t + C 2 0,1 , 0 e t + C 3 1,0 , 1 t 2 e t + C 3 0,1 , 0 t e t + C 3 - 1 , - 2,0 e t

Vamos calcular essa solução em t = 0 :

X t = 0 = C 1 - C 3 , C 2 - 2 C 3 , C 1

Mas o enunciado deu que:

X t = 0 = 1,0 , 1

Então:

C 1 - C 3 , C 2 - 2 C 3 , C 1 = 1,0 , 1

Então ficamos com mais um sisteminha pra resolver!

C 1 - C 3 = 1 C 2 - 2 C 3 = 0 C 1 = 1

Na terceira equação, já temos o valor de C 1 :

C 1 = 1

Substituindo na primeira:

C 1 - C 3 = 1 ⇒ C 3 = 0

Substituindo esse valor de C 3 na segunda equação:

C 2 = 0

Então finalmente achamos a solução do PVI:

X = e t 1,0 , 1

Resposta

X = e t 1,0 , 1

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