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Exercícios Resolvidos de S.E.D.O.L's

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Exercício 7123456

Enunciado

USP – Álgebra Linear 2 – REC – 2016

Q8. Seja A ∈ M 3 R uma matriz simétrica cujo polinômio característico seja dado por p A t = t - t 3 e que satisfaça as igualdades:

A 1 1 1 = 0 0 0 e A 0 1 - 1 = 0 1 - 1

Temos que a solução X do sistema de equações diferenciais X ' t = A X t satisfazendo a condição X 0 = - 1,3 , 1 é dada por:

a) X t = - e - t , 1 + e t + e - t , e t ;

b) X t = - e t , 3 e - t , 1 ;

c) X t = 1 - 2 e - t , 1 + e t + e - t , 1 - e t + e - t ;

d) X t = - 1 + e t - e - t , e t + 2 e - t , e t ;

e) X t = - 1,3 e - t , e - t .

Passo 1

Falaaa... beleza??? Nessa questão vamos encontrar a solução do sistema de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro vamos achar os autovalores de A :

p A t = t - t 3 = 0

t = 0   o u   t = - 1   o u   t = 1

Não temos a matriz A , mas temos dois autovetores, um associado ao autovalor 0 :

A 1 1 1 = 0 0 0

Como representamos autovalor com seu autovetor:

A X = λ X

Então 1,1 , 1 é o autovetor associado ao autovalor 0.

Já para o autovalor 1 temos:

A 0 1 - 1 = 0 1 - 1

Então 0,1 , - 1 é o autovetor associado ao autovalor 1.

Passo 3

Pra achar o autovetor associado ao autovalor - 1 , podemos fazer o produto vetorial entre os outros dois autovetores:

i j k 1 1 1 0 1 - 1 = - 2 i + j + k

Então - 2,1 , 1 é o autovetor associado ao autovalor - 1 .

Passo 4

Agora só precisamos escrever a solução:

x 1 = 1 K 1 e ( 0 ) t + 0 K 2 e ( 1 ) t + - 2 K 3 e - 1 t

x 2 = 1 K 1 e ( 0 ) t + 1 K 2 e ( 1 ) t + 1 K 3 e - 1 t

x 3 = 1 K 1 e ( 0 ) t + - 1 K 2 e ( 1 ) t + 1 K 3 e - 1 t

Aplicando a condição X 0 = - 1,3 , 1 :

- 1 = K 1 - 2 K 3

3 = K 1 + K 2 + K 3

1 = K 1 - K 2 + K 3

Resolvendo esse sistema:

K 1 = K 2 = K 3 = 1

Então a solução será:

X t = 1 - 2 e - t , 1 + e t + e - t , 1 - e t + e - t

Letra c

Resposta

Letra c

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