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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 21345678910

Enunciado

Calcule:

ln ⁡ ∫ 0 1 e a r c t g x 1 + x 2 d x + ∫ 0 1 d x

Passo 1

Beemmm feia esse né? Mas relaxa que a gente vai dar conta dela juntos.

Mas começar pela parte de dentro.

∫ 0 1 e a r c t g x 1 + x 2 d x + ∫ 0 1 d x

Quando pensando em integral por substituição, lembra que o ideal é procurarmos na integral, uma função e sua derivada? Então... não se assusta com aquela a r c t g   ( x ) . A integral pode parecer intimidadora à primeira vista, mas é bem tranquila! É só a gente lembrar dessa derivada tabelada aqui:

d d x a r c t g x = 1 1 + x 2

Percebeu a semelhança? Isso sugere fortemente que a gente use uma substituição:

Então fazermos:

u = a r c t g ( x )

E derivamos o u :

d u d x = 1 1 + x 2         ⇒           d x = 1 + x 2   d u

Vamos substituir isso numa integral indefinida (mexer com os limites de integração agora iria criar muita confusão!)

∫ e a r c t g x ⏞ u ( 1 + x 2 ) d x ⏞ 1 + x 2 d u + ∫ 0 1 d x

∫ e u ( 1 + x 2 ) . 1 + x 2 d u + ∫ d x

Podemos cortar o ( 1 + x 2 ) que está multiplicando e dividindo, e ficaremos com:

∫ e u   d u + ∫ d x

Agora já podemos integrar:

e u + x + C

Agora que já integramos, voltamos pra variável x

e a r c t g ( x ) + x + C

Passo 2

Ok, agora vamos substituir os limites de integração x = 0 e x = 1 :

e a r c t g 1 + 1 - e a r c t g 0 - 0

E vamos tomar as soluções mais simples para o a r c t g ( x ) :

a r c t g 1 = π 4

a r c t g 0 = 0

Nesse caso ficamos com:

e π 4 + 1 - e 0

Assim, o resultado da integral é:

I = e π 4 + 1 - 1 = e π 4

Como a questão pediu o logarítmo natural dessa integral, vamos fazer:

ln ⁡ I = ln ⁡ e π 4 = π 4

E essa é a nossa solução!

Resposta

π 4 .