Calcule a integral definida
Passo 1
Você pode estar pensando: meu Deus! Eu nunca vi tanto assim em uma integral...
Primeiro de tudo, essa é uma integral definida, por conta desses numerozinhos em cima e em baixo da integral.
Eles são chamados de limites de integração. Quando uma integral tem esses limites de integração, ela é chamada de integral definida!
Mas essa integral provavelmente assusta por causa do dentro da raiz quadrada, estou certo? Talvez fosse mais fácil se dentro da raiz quadrada tivesse algo mais simples.
Então, se o que atrapalha a gente é esse , porque não tentamos nos livrar dele? E podemos fazer isso, criando uma nova variável que deve ficar no lugar de .
Essa técnica de criar uma nova variável para substituir um termo difícil da integral é chamada de substituição simples! Ela é uma das técnicas de integração mais importantes!
A intenção é transformar nossa integral difícil que está escrita em função de , em uma nova integral mais simples escrita agora em função de .
Se a gente substituir por esse , a integral vai ficar:
A cara dela já está melhorzinha, né? Mas ainda não resolvemos nosso problema! Nós precisamos trocar tudo que está escrito em , por relações equivalentes em !
No próximo passo a gente vai descobrir como substituir e por alguma relação em e .
Passo 2
Vamos atrás do . E para descobrir quanto vale , a gente precisa derivar o em relação a !
Como vamos derivar uma soma, podemos derivar cada pedaço separadamente:
Derivamos usando a regra do peteleco! Nessa regra, o expoente cai na frente de multiplicando e ao cair ele perde uma unidade no expoente, deixando pra trás um expoente .
Agora é a vez do 9. Temos que nos lembrar que a derivada de uma constante vale zero. Logo, a derivada de vale zero!
Resumindo, a derivada de vale:
Show, olha o que a gente estava procurando ali embaixo do . Se a gente passar o para o lado direito teremos:
Pra deixar o sozinho, vamos passar agora o para o lado esquerdo da equação:
Agora a gente pode substituir o também o da integral pelo .
Aqui temos dois detalhes importantes. Não podemos usar os limites de integração, porque eles eram da variável e não da variável . Então faremos a integração em , sem os limites mesmo e quando a gente voltar pra , aí sim colocamos os limites.
Além disso, na nossa integral temos multiplicando e dividindo, então podemos cancelar um com o outro, sobrando só:
Agora temos uma integral toda em e bem mais simples de se resolver. Partiu resolvê-la, então.
Passo 3
Dividir por é a mesma coisa que multiplicar por . Por isso, podemos transformar o que está dividindo o em .
Primeiro, temos que lembrar que a constante pode ser tirada da integral!
Depois, precisamos lembrar que calcular a raiz quadrada de um número é a mesma coisa que elevar o número a . Ou seja, é igual a .
Agora está claro que precisamos integrar uma potência de .
Pra nossa sorte, existe uma regrinha bem simples que vai ajudar a encontrar rapidinho a integral de qualquer potência de . A regrinha é: soma no expoente e divide por esse resultado. Ou seja, a regrinha geral, ficaria assim:
Para usar essa regra, vemos que o expoente de vale . E vai ficar assim:
Vamos resolver esse , colocando os dois valores em forma de fração com o mesmo denominador. Ou seja, vamos escrever o 1 como sendo
Agora a gente soma em cima e repete em baixo:
Aplicando essa regra, achamos:
Para tirar o que está no denominador da fração a gente coloca ele invertido na frente multiplicando o
Simplificando o :
Já estamos quase lá. Agora vamos usar a regrinha do expoente fracionário, onde a gente pode transformar ele em raiz, assim ó:
Beleza, conseguimos integrar, mas lembra que nossa integral era em e tinha os limites de integração?
Passo 4
Pra voltarmos pra variável certa, vamos lembrar que chamamos o . Então vamos substituir nosso e colocar os limites de integração de .
Passo 5
Finalmente vamos usar os limites de integração!
Fazemos isso, substituindo o pelos dois limites, um de cada vez na função. Primeiro, nós vamos trocar o pelo limite de cima (pelo ) e depois vamos trocar pelo limite debaixo (pelo ). E então subtraímos as expressões encontradas:
Usando essa regra, a expressão vira:
Agora vamos resolver essas contas aí com cuidado. Primeiro os parênteses que estão dentro das raízes:
Agora em e , podemos jogar o pra fora da raiz. Então primeiro a gente tira a raiz quadrada e depois eleva a 3. Isso facilita as nossas contas já que o e o tem raízes quadradas.
Então:
Agora a gente faz a subtração das frações:
Já estão com o mesmo denominador, então a gente só resolve em cima e repete em baixo:
Pronto! Finalmente achamos o resultado da integral! Mas vamos recordar esse passo a passo da substituição por partes:
- A gente criou uma nova variável .
- Depois, a gente substituiu o da integral por algo relacionado a e o da integral por algo relacionado a .
- Além disso, a gente precisou tirar limites de integração. Eles serviam para a integral de , mas não para a integral de .
- Integramos a função encontrada em .
- Voltamos para a variável .
- Por fim, substituímos os limites de integração!
- Fizemos umas continhas e FIM!