Suponha que a receita marginal de uma empresa pela fabricação e venda da baterias seja onde é medido em milhares de reais e milhares de unidades. Quanto dinheiro a companhia deve esperar de uma população de mil baterias? Para isto integre o rendimento marginal de a .
Passo 1
Bom, o enunciado já deixou bem claro o que precisamos fazer para achar o valor que a companhia deve esperar para essa quantidade de baterias. O que teremos que fazer é:
Essa integral é composta de duas parte, o e o , com isso a gente pode separar ela em duas, afinal a integral da diferença é o mesmo que a diferença das integrais, certo?
Agora é só resolver cada uma separadamente.
Passo 2
Começando pela inegral mais tranquila:
Podemos tirar o da integral, pois ele é uma costante, ficando:
Quando só nos resta do na integral, ela será igual a , assim teremos:
Como essa integral é definida, vamos colocar os limites de integração e aplicar o T.F.C. (teorema fundamental do cálculo):
Limite de cima na função, menos o limite de baixo na função:
E então teremos:
Passo 3
Agora vamos para a mais difícil:
Tá vendo esse ? Ele tá com uma carinha estranha aí. Então, vamos aplicar uma substituição pra ver se essa integral fica mais agradável. Fazendo:
E derivando o
A integral vai se transformar:
Mas está faltando os limites de intregração nessa substituição que fizemos. Isso porque os limites que tinhamos antes eram de , sendo assim, não podemos usar eles para .
Nesse caso a gente integra sem eles em , e coloca de volta na hora que voltarmos pra variável .
Calulando a integra
Podemos jogar o pra frente já que ele é uma constante. Vamos também subir o que está no denominador, colocando ele pra cima com o expoente negativo:
Agora vamos usar a regra de integração de potencia:
Aplicando essa regra, teremos:
Resolvendo essas continhas aí
Como o expoente do tá negativo, vamos colocar ele no denominador pra ficar positivo, vamos também subir o sinal que está embaixo e vai ficar assim:
Agora que já integramos, vamos voltar para função de para aplicarmos o intervalo de variação. Lembra que
Aplicando o T.F.C.:
Simplificando o pra :
Pra fazer essa continha, nós precisamos que os denominadores sejam iguais, então vamos transformar o em 4/2.
Agora e gente resolve em cima e repete embaixo:
E agora voltando na equação lá de cima, pra encaixar tudo que a gente achou;
Que segundo o enunciado, é dado em milhares de reais e por isso faz mais sentido usarmos a respota com a vírgula do que em forma de fração. Prontinho, resposta encontrada!
Resposta
A companhia deve esperar mil em receita.