Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Suponha que a receita marginal de uma empresa pela fabricação e venda da baterias seja d r d x = 2 - 2 x + 1 2 onde r é medido em milhares de reais e x milhares de unidades. Quanto dinheiro a companhia deve esperar de uma população de x = 3 mil baterias? Para isto integre o rendimento marginal de x = 0 a x = 3 .

Passo 1

Bom, o enunciado já deixou bem claro o que precisamos fazer para achar o valor V que a companhia deve esperar para essa quantidade de baterias. O que teremos que fazer é:

V = ∫ 0 3 2 - 2 x + 1 2   d x

Essa integral é composta de duas parte, o 2 e o 2 x + 1 2 , com isso a gente pode separar ela em duas, afinal a integral da diferença é o mesmo que a diferença das integrais, certo?

V = ∫ 0 3 2   d x - ∫ 0 3 2 x + 1 2   d x

Agora é só resolver cada uma separadamente.

Passo 2

Começando pela inegral mais tranquila:

∫ 0 3 2   d x

Podemos tirar o 2 da integral, pois ele é uma costante, ficando:

2 ∫ 0 3 d x

Quando só nos resta do d x na integral, ela será igual a x , assim teremos:

2 ∫ 0 3 d x = 2 x

Como essa integral é definida, vamos colocar os limites de integração e aplicar o T.F.C. (teorema fundamental do cálculo):

Limite de cima na função, menos o limite de baixo na função:

2 x 3 0

= 2 3 - 2 0 = 6

E então teremos:

∫ 0 3 2   d x = 6

Passo 3

Agora vamos para a mais difícil:

∫ 0 3 2 x + 1 2   d x

Tá vendo esse x + 1 2 ? Ele tá com uma carinha estranha aí. Então, vamos aplicar uma substituição pra ver se essa integral fica mais agradável. Fazendo:

u = x + 1

E derivando o u

d u = d x

A integral vai se transformar:

∫ 0 3 2 x + 1 ⏟ u 2   d x ⏟ d u

∫ 2 u 2   d u

Mas está faltando os limites de intregração nessa substituição que fizemos. Isso porque os limites que tinhamos antes eram de x , sendo assim, não podemos usar eles para u .

Nesse caso a gente integra sem eles em u , e coloca de volta na hora que voltarmos pra variável x .

Calulando a integra

∫ 2 u 2   d u

Podemos jogar o 2 pra frente já que ele é uma constante. Vamos também subir o u 2 que está no denominador, colocando ele pra cima com o expoente negativo:

2 ∫ u - 2 d u

Agora vamos usar a regra de integração de potencia:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando essa regra, teremos:

2 ∫ u - 2   d u = 2   u - 2 + 1 - 2 + 1 + C

Resolvendo essas continhas aí

2 ∫ u - 2   d u = 2   u - 1 - 1 + C

Como o expoente do u - 1 tá negativo, vamos colocar ele no denominador pra ficar positivo, vamos também subir o sinal que está embaixo e vai ficar assim:

- 2 u + C

Agora que já integramos, vamos voltar para função de x para aplicarmos o intervalo de variação. Lembra que u = x + 1

- 2 u = - 2 x + 1 | 3 0

Aplicando o T.F.C.:

= - 2 3 + 1 - - 2 0 + 1

= - 2 4 + 2

Simplificando o - 2 4 pra - 1 2 :

= - 1 2 + 2

Pra fazer essa continha, nós precisamos que os denominadores sejam iguais, então vamos transformar o 2   em 4/2.

= - 1 2 + 4 2

Agora e gente resolve em cima e repete embaixo:

= - 1 2 + 4 2 = 3 2

E agora voltando na equação lá de cima, pra encaixar tudo que a gente achou;

V = ∫ 0 3 2   d x - ∫ 0 3 2 x + 1 2   d x

V = 6 - 3 2

= 6 - 1,5 = 4,5

Que segundo o enunciado, é dado em milhares de reais e por isso faz mais sentido usarmos a respota com a vírgula do que em forma de fração. Prontinho, resposta encontrada!

Resposta

A companhia deve esperar 4,5 mil em receita.