Calcule integral indefinida

Vamos lá, vamos tirar mais uma de letra!

Temos a seguinte integral para resolver

Mas, agora temos um problema... Como resolver essa parada?

Uma saída e tentar usar o método da substituição simples. Pra isso vamos ver quem é a parte mais problemática da função. Esse aí não tá agradando muito, né? Isso porque ele tá no denominador, o que dificulta um pouquinho a nossa vida.

Então, vamos fazer as seguintes, vamos chamar o de , e transformar toda a nossa integral reescrevendo ela e mudando tudo que estiver em , para relações equivalentes em .

Então, sendo:

Só que ainda temos o e o , pra modificar. Então vamos fazer a derivada do .

Pra deixar o sozinho, jogamos ele pro lado direito e trazemos o para o lado esquerdo:

Agora podemos substituir o na nossa integral:

Então nossa integral fica assim, ó:

Cortando o , teremos

Agora estamos quase lá. Mas antes vamos subir essa potência de . E para fazer isso, vamos jogar ela pra cima com o expoente negativo:

Já está bem melhor de resolver essa integral aí, né. Então partiu integrar!

Vamos usar a nossa regra do expoente para integral:

“Re-substituindo” o valor de x, vamos ter o seguinte

Como o está elevado ao um expoente negativo, vamos colocar ele na parte de baixo, pra ficar com expoente positivo e subimos o sinal de menos do denominador:

Aqui tem um detalhe importante. é uma relação trigonométrica conhecida, a cossecante! Vamos escrever dessa maneira, então:

E é isso. Matamos essa!