Calcule a integral fazendo a substituição dada.
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Passo 1
Bem, esse é um exercício para integrar a função . Essa função é muito parecida com uma função que já sabemos integrar, que é a função !
Se lembra qual é o resultado da integral de ? É uma daquelas integrais tabeladas que a gente precisa ter em mente.
Reconhecer que a função que queremos integrar é muito parecida com uma função que já sabemos integrar, é muito importante! Isso vai ajudar a gente a resolver o exercício pelo método da substituição simples!
E como seria esse método?
Nesse método, a gente cria uma nova variável para transformar a função complicada em uma função mais simples que sabemos integrar! No nosso caso, o enunciado já informou o valor de :
O primeiro passo desse método é modificar o que está em e em na nossa integral, para relações equivalentes em e em . Dessa forma, nossa integral que era toda em , passará a ser em .
Para fazer isso, substituímos o pelo .
Agora precisamos mudar esse pra alguma coisa em . Mas o que precisamos fazer para substituir o pelo ?
No próximo passo isso vai ficar claro!
Passo 2
Para substituir o pelo , nós vamos derivar o ! Isso mesmo!
Vamos fazer:
Como a constante não interfere na derivada, podemos colocar ela pra fora.
Agora precisamos só fazer a derivada do . Você se lembra como se faz essa derivada?
Para ficar mais claro como se deriva o , vamos fazer aparecer o expoente dele que vale . Ou seja, .
Então:
Agora fica mais claro que vamos derivar uma potência de . Com isso, vamos usar a regra do “peteleco”!
Nessa regra, o expoente do leva um “peteleco” e cai na frente do multiplicando. Além disso, quando caí ele perde uma unidade no expoente. O novo expoente será igual ao antigo menos ! Olha só como fica:
Só lembrando que todo número elevado a zero dá um:
Resumindo, a derivada de vale:
Mas o que a gente precisa lá na nossa integral é substituir aquele , pra isso temos que deixar ele, que está ali embaixo do , sozinho. Começamos jogamos ele para o outro lado pra junto do 3, assim:
Mas ele ainda não está sozinho, então passamos o pro lado esquerdo dividindo.
Agora sim, nós sabemos quanto vale e podemos substituir isso na integral!
Lembrando:
Prontinho! Achamos agora uma integral toda em
Agora vamos resolver.
Passo 3
Esse ali, é uma constante e por isso pode sair da integral, mas como ele está na parte de baixo, vamos jogar ele pra frente na sua forma de fração que é .
Finalmente achamos a integral de cosseno que já sabemos calcular!
Antes de calcular, precisamos saber de uma coisa: integrar é diferente de integrar ?
Não! O passo a passo que usamos para integrar a variável é igual ao passo a passo que usamos para integrar . Isso significa que, se a integral de vale , a integral de vale !
Ahhh, não esqueça da constante , já que é uma integral indefinida.
No entanto, nós não podemos deixar o nosso resultado assim. Temos que lembrar que a integral pedida não estava em , mas sim em . Então nossa resposta final precisa estar na variável
Você lembra que ? Então é isso, vamos colocar o no lugar do nosso .
Agora sim, tá tudo nos conformes, então:
Esse passo a passo te ajudou? Responde aí!