Calcule a integral fazendo a substituição dada.
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Passo 1
Você pode estar pensando: eeeita, que integral enorme! Como posso integrar isso?
Se acalme, porque a própria questão já nos dá uma dica muito importante de como resolver tudo! Nessa integral nós temos o e a derivada do , que é o !
Dizemos que é a derivada do em relação a !
Tá mas de que forma isso ajuda a resolver essa questão?
Quando temos uma função e a sua derivada na mesma integral, podemos usar a substituição simples para resolvê-la! E o que é essa substituição simples?
Nesse método, a gente cria uma nova variável para transformar a função complicada, em uma função mais simples que sabemos integrar! No nosso caso, o enunciado já informou o valor de :
Então, vamos usar para transformar a integral que estava em e em , em outra integral agora escrita em e .
Como o enunciado já disse quem é o , vamos encaixar ele na integral:
Nossa integral ainda possui um e um , isso significa que ainda não terminamos nossa substituição. Para fazer os dois sumirem, temos que calcular quanto vale no próximo passo.
Passo 2
Vamos atrás agora do , pra isso derivamos o em relação a ! Isso mesmo, olha como o tal vai surgir fazendo assim:
A derivada de em relação a é:
No entanto, sabemos que a derivada do seno é tabelada e vale cosseno!
Veja o que a gente estava procurando ali embaixo do .
Podemos passar o para o outro lado direito da equação, fazendo ele multiplicar o .
Mas espera aí, é exatamente o que temos na nossa integral! Então, a gente pode substituir por !
Veja, nós mudamos aquela integral esquisita para essa mais simples, agora vamos integrar.
Nós sabemos integrar a exponencial . Será que integrar é diferente?
No próximo passo responderemos isso!
Passo 3
Integrar em NÃO é diferente de integrar em ! O passo a passo que usamos para integrar a variável é igual ao que usamos para integrar . Isso significa que, se a integral de vale , a integral de vale !
Então o resultado da nossa integral será:
Pronto! Integrado! Não esquece da constante , hem!
Mas nós não podemos deixar o nosso resultado assim. Temos que lembrar que a integral pedida não estava em , mas sim em . Então, nossa resposta final precisa estar na variável
Você lembra que ? Então é isso, vamos colocar o no lugar do nosso .
Agora está tudo certo! E esse é o resultado da integral do enunciado!
Espero que o passo a passo tenha de ajudado bastante!