Exercícios Resolvidos de Teorema de Laplace

Ver Teoria

Enunciado

Calcule o det ⁡ A com uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.

A = 1 k k 2 1 k k 2 1 k k 2

Passo 1

Bom galerinha, podemos escolher qual linha ou coluna usar, então optamos pela menos trabalhosa !!

Que tal a 1 coluna?

Vamos dar uma olhada como ficaria este determinante?

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33             ∴           det ⁡ A = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31

Agora vamos substituir?

A = 1 k k 2 1 k k 2 1 k k 2             ∴           det ⁡ A = 1 . C 11 + 1 . C 21 + 1 . C 31

Então, precisamos achar os cofatores C 11 , C 21 e C 31 , ok?

Já sabemos que o cofator do elemento é calculado usando uma fórmula meio chatinha, mas vamos fazer devagar:

C i j = - 1 i + j D i j  

Onde i representa a linha em que ele se encontra e j a sua coluna !!

Para o caso que estamos analisando:

C 11 = - 1 1 + 1 D 11 = - 1 2 D 11

C 21 = - 1 2 + 1 D 21 = - 1 3 D 21

C 31 = - 1 3 + 1 D 31 = - 1 4 D 31

Agora precisamos lembrar de duas regrinha muito importante

  • Número negativo elevado a expoente par fica positivo
  • Número negativo elevado a expoente ímpar continua negativo

Então nossos cofatores ficarão

C 11 = D 11

C 21 = - D 21

C 31 = D 31

Passo 2

Para achar aqueles D alí, que são chamados de menor complementar, vamos excluir a linha e a coluna do elemento, ok?

Para o elemento é D 11 nós cortamos a linha 1 e a coluna 1 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 11 = k k 2 k k 2

E agora sim vamos resolver este determinante que já é bem mais simples! Para isso multiplicamos os números presentes sobre a diagonal vermelha e azul:

E o determinante é o valor da direita (vermelho) menos o da esquerda (azul):

D 11 = k 3 - k 3

D 11 = 0

Então:

C 11 = 0

E assim achamos um dos cofatores !!

Passo 3

Para achar D 21 nós cortamos a linha 2 e a coluna 1 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante (aqui eu já multipliquei todo mundo por - 1 pois vamos precisar desse valor negativo para calcular o C 21 ):

- D 21 = - k k 2 k k 2

Já vimos que o determinante dessa mesma matriz ali em cima!

- D 21 = - 0

D 21 = 0

Então:

C 21 = 0

Passo 4

Para o elemento é D 31 nós cortamos a linha 3 e a coluna 1 :

E com o que sobrou vamos montar um novo determinante:

D 31 = k k 2 k k 2 = 0

Então:

C 31 = 0

E agora vamos colocar no determinante?

det ⁡ A = 1 × 0 + ( 1 × 0 ) + ( 1 × 0 )

det ⁡ A = 0

E assim a gente fecha mais uma!!

Resposta

det ⁡ A = 0